定积分定义求极限专题

定积分定义求极限问题的描述

在定积分定义求极限中，我们可能存在的问题

1. 被积函数不会找
2. 积分区间不会定（只会[0,1]的）
3. 根本不知道“补系数”
4. 只会f（i/n)的情况

定积分定义，简单来说就是底*高，无穷累加。
从0到n，均分变为1/n就是底，f(i/n)就是它对应的高，由于均分后已经很微小了，所以这个高只要保证在这样的一个小区间上即可。最后再累加。

上述就是定积分定义的最简单理解
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n}$$

现在待解决的问题就是如何根据后面的无穷项的数列极限，写成前面的定积分的形式。

解决方法

给出方法论：

1. 找被积函数在于找变化的部分，将变化的部分写成x
2. 确定积分区间，积分区间的确定，就看变化量的极限，它的第一项的极限就是下限，第n项的极限就是它的上限
3. 确定底，也就是1/n需不需要补系数，用积分区间/实际项数。比如积分区间是0到1，但是根据规律发现只有偶数，那么它实际项数就是n/2，用（1-0）/（n/2），最后得到2/n，如果原先的系数是1/n，则需要将它的系数改为2/n，并在前面补系数2

补充两点：
1️⃣删去有限项不改变数列极限
2️⃣变化的部分，当然是越简单越好

没看懂很正常，真题实践会逐步掌握

真题实践(持续更新中，未完结）

真题实践部分由浅入深

$$1.\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(sin\frac{1}{n}+sin\frac{2}{n}+sin\frac{3}{n}+...sin\frac{n}{n}\right)$$

解析：
观察可知本题中的变化量是sin里面的数，并且前面给出1/n，大胆使用定积分定义。

1.括号里面的改成sinx，确定了被积函数。
2.积分区间，1/n就是就是0，n/n就是1

在这里非常值得注意的点是，积分区间的确定是根据变化部分确定的，这里可不是sin0和sin1，而是0和1

3.补系数，区间1，一共n项，就是1/n，不需要补系数

答案如下：
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sin xdx$$

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$$2.\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...\frac{1}{n+n}\right)$$

解析：
观察不难发现是分母1，2，3发生变化。我们首先要整理这个式子，让这个式子除了发生变化的量，其他均是常数，故分母同除n，提出一个1/n
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\frac{1}{1+\frac{3}{n}}+...\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right)$$

1.确定被积函数，把1/n写成x，故被积函数就是1/（1+x）
2.确定区间，1/n是0，n/n是1，积分区间0到1
3.确定系数，区间是1，一共n项，系数1/n，不用补系数

答案如下：
$$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}dx$$