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线性代数笔记

news 2025/12/15 23:55:19

行列式

求高阶行列式 

可以划上三角

上三角

余子式

范德蒙行列式

拉普拉斯公式

行列式行列对换值不变

矩阵

矩阵的运算

同型矩阵加减 对应位置相加减

矩阵的乘法

左边第 i 行 一次 相乘求和 右边 第 j 列

eg

中间相等 两边规模

矩阵的幂运算

解题思路

找规律 数学归纳法

结合律

先拆 后换

矩阵的转置（A^{T}）

矩阵的行列互换

性质

方阵的行列式

行列式 行列数相等

只有方阵才有其行列式

伴随矩阵

逆 = 伴/行  伴 = 行逆

二阶方阵 其伴随矩阵 为方阵的行列式 为主对角线互换 副对角线 加负号

逆矩阵

只有方阵才可逆

  • 定义 1 对于n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E成立，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。记作A-1=B

单位矩阵如同乘法中的1

零矩阵不可逆

可逆矩阵的逆阵是唯一的

  • 定理1  方阵A可逆的充分必要条件是|A| ≠ 0 ，且A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}

分块求 矩阵 的逆

eg

加减配凑 出结果

抽象矩阵求逆

数字型矩阵求逆  -- 行变换法

二阶矩阵求逆  -- 两调一除

方阵的行列式

解矩阵方程

矩阵的初等变换

行阶梯矩阵

初等行列式的相关计算

eg 

矩阵的秩

性质

求逆矩阵

向量组的线性相关性

向量组

抽象向量组的相关性

向量组相关性计算

无关向量组增加分量个数，仍无关

线性表示相关计算

3）

与向量组的秩、最大无关组的相关计算

线性方程组求解

抽象性方程组的解

特征值求解

矩阵的相识对角化

对称矩阵 正交化

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