二叉树与堆相关的时间复杂度问题

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满二叉树与完全二叉树高度h和树中节点个数N的关系

向上调整算法：

介绍：

复杂度推导：

向下调整算法：

介绍：

复杂度推导：

向上调整建堆：

介绍：

复杂度推导：

向下调整建堆：

介绍：

复杂度推导：

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满二叉树与完全二叉树高度h和树中节点个数N的关系

向上调整算法：

介绍：

函数功能：将堆通过向上调整算法使堆成为小堆（父亲<孩子）或大堆（父亲>孩子），堆内父亲=（孩子-1）/2。只要孩子还在堆范围内，就不断判断孩子与父亲的关系。若想设置小堆，则孩子<父亲就执行交换；若想设置大堆，则孩子>父亲就执行交换。

函数参数：HeapDataType * a—>堆内数据类型首元素的指针  int child—>堆底元素（孩子）

函数返回值：无

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

复杂度推导：

一次向上调整最多调整高度次数，根据满二叉树h=log(N+1)，完全二叉树h=log(N)+1，而时间复杂度计算的是最大情况的数量级，所以一次向上调整的复杂度为O(logN)

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向下调整算法：

介绍：

函数功能：将堆通过向下调整算法使堆成为小堆（父亲<孩子）或大堆（父亲>孩子），使用假设法先假定要交换的元素为左孩子，child=parent*2+1，若右孩子>左孩子，则需交换的元素为parent*2+1+1。只要孩子还在堆范围内，就不断判断孩子与父亲的关系。若想设置小堆，则孩子<父亲就执行交换；若想设置大堆，则孩子>父亲就执行交换。

函数参数：HeapDataType * a—>堆内数据类型首元素的指针  int n —>堆内元素个数          int parent—>堆顶元素（父亲）

函数返回值：无

void Adjustdown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{size_t child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

复杂度推导：

一次向下调整最多调整高度次数，根据满二叉树h=log(N+1)，完全二叉树h=log(N)+1，而时间复杂度计算的是最大情况的数量级，所以一次向下调整的复杂度为O(logN)

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向上调整建堆：

介绍：

前提：上几层都是堆

先将数组内所有元素插入堆结构内，再从第一个元素到最后一个元素进行遍历，对每个元素使用向上调整算法，使堆结构成为大堆/小堆

复杂度推导：

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向下调整建堆：

介绍：

前提：左右子树都是堆

先将数组内所有元素插入堆结构内，再从最后一个父亲的位置到第一个父亲的位置进行遍历，对每个元素使用向下调整算法，使堆结构成为大堆/小堆

复杂度推导：