实变函数精解【3】

点集

求导集

• 例1
  E = { 1 / n + 1 / m : n , m ∈ N } 1. lim ⁡ n → ∞ ( 1 / n + 1 / m ) = 1 / m 2. lim ⁡ n , m → ∞ ( 1 / n + 1 / m ) = 0 3. E ′ = { 0 , 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , . . . . } E=\{1/n+1/m:n,m \in N\} \\1.\lim_{n \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=1/m \\2.\lim_{n,m \rightarrow \infty}(1/n+1/m)=0 \\3.E'=\{0,1,1/2,1/3,....\} E={1/n+1/m:n,m∈N}1.n→∞lim​(1/n+1/m)=1/m2.n,m→∞lim​(1/n+1/m)=03.E′={0,1,1/2,1/3,....}
• 例2
  $$\begin{gathered} E=\{(\sqrt{m}-\sqrt{n})/(\sqrt{m}+\sqrt{n}):m,n\in N\} \\ 1.(\sqrt{m}-\sqrt{n})/(\sqrt{m}+\sqrt{n})=1-\frac{2}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1} \\ 2.\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{2}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1})=-1 \\ 3.\underset{m\to \infty }{\lim }(1-\frac{2}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1})=1 \\ 4.\underset{n,m\to \infty }{\lim }(1-\frac{2}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1})=\underset{n,m\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1}) \\ \frac{1}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1}<1=> \\ -1<\underset{n,m\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{m}{n}}+1})<1 \\ {E}^{\prime }=[-1,1] \end{gathered}$$
• 例3
  E = { x n = s i n l n n : n ∈ N } E=\{x_n=sinlnn:n \in N\} E={xn​=sinlnn:n∈N}

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }lnn=\infty \\ -1\le \underset{n\to \infty }{\lim }sinlnn\le 1 \\ {E}^{\prime }=[-1,1] \end{gathered}$$

闭集

$E\subset R^n,E\supset E^{\prime }=>E为闭集$
$\bar{E}=E\cup E^{\prime }=>E为闭包$
$A\subset B,\bar{A}=B=>A在B中稠密,A是B的稠密子集$
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在实变函数中，闭集是一个重要的概念，它与开集相对。以下是对实变函数中闭集的详细解释：

1. 定义：

   • 在实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中，闭集是指包含其所有极限点的集合。
   • 换句话说，如果一个集合的所有极限点都属于该集合本身，则它是闭集。

2. 性质：

   • 闭集在并集、交集和补集运算下具有良好的性质。
   • 任意多个闭集的交集仍然是闭集。
   • 有限个闭集的并集也是闭集。
   • 闭集的补集是开集（在实数集R中）。

3. 例子：

   • 在实数集R中，闭区间[a, b]是一个闭集，因为它包含了其所有边界点a和b，以及区间内的所有点。
   • 单点集{x}也是一个闭集，因为它只包含一个点，该点自然是它自己的极限点。
   • 空集∅也是一个闭集，因为它不包含任何点，所以也没有极限点需要包含。

4. 与开集的关系：

   • 开集和闭集是相对的。一个集合是开集当且仅当它的补集是闭集。
   • 在实数集R中，开区间(a, b)是一个开集，而它的补集是闭集，由两个闭区间和两个单点集组成：(-∞, a] ∪ [b, +∞) ∪ {a} ∪ {b}（但通常我们只说它的补集包含(-∞, a]和[b, +∞)这两部分，因为单点集在实数轴上可视为闭集）。

5. 闭包与闭集的关系：

   • 任何一个集合S的闭包都是闭集。
   • 闭包是包含S的最小闭集，即S的闭包是包含S的所有闭集中的最小者（在包含关系下）。

综上所述，闭集是实变函数中一个基本而重要的概念，它与开集、闭包等概念紧密相关，并在数学分析中发挥着重要作用。

在点集拓扑学中，对于实数集R（或更一般的度量空间、拓扑空间）中的一个点集E，E的闭包通常定义为E与E的所有极限点（或聚点）的并集，记作Ē或E∪E′。这里，E′表示E的导集，即E中所有聚点的集合。聚点的定义是：对于E中的点x，如果存在一个包含x的邻域U，使得U与E的交集（去掉x后）非空，则称x为E的聚点。

性质：闭包是包含原集合的最小闭集。即，对于任意集合E，其闭包Ē是包含E的所有闭集中最小的一个。
例子：考虑实数集R上的开区间(0,1)，其闭包是闭区间[0,1]，因为0和1是(0,1)的聚点。

参考文献

1.《实变函数解题指南》 周民强
2.《实变函数论》 周民强