【数据结构】--- 堆的应用

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系列文章专栏 :数据结构

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一.堆排序 

 在前一个文章的学习中，我们使用数组的物理结构构造出了逻辑结构上的堆。那么堆到底有什么用呢？？？

首先思考这样一个问题，假设给定一个随机的数组，如何将这个数组建堆（在不使用额外的空间的条件下）。

这个问题不难，只需用到向上调整算法即可。

int main()
{int a[] = { 4,2,8,1,5,6,9,7,3,2,23,55,232,66,222,33,7,1,66,3333,999 };int i = 1;for (i = 1; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); i++) {AdjustUp(a, i);}return 0;
}

通过调试不难发现此时已经是一个大堆了。

如果想要得到小堆，只需要更改向上调整函数即可。

得到了大堆之后，又如何将这个数组排序得到一个升序的数组呢？？？

因为在大堆中，堆顶的数据一定是最大的，可以先将堆顶数据和数组最后一个位置上的数据进行交换，不管此时最大的数据，只看前size-1这个数据，进行向下调整得到第二大的数据，再更倒数第二个位置上的数据进行交换，..........依次进行下去就会得到一个升序的数组。 

int main()
{int a[] = { 4,2,8,1,5,6,9,7,3,2,23,55,232,66,222,33,7,1,66,3333,999 };int i = 1;for (i = 1; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); i++) {AdjustUp(a, i);}int end = sizeof(a) / sizeof(a[0]) - 1;while (end > 0) {Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}return 0;
}

简单来说，升序，建大堆，降序，建小堆。这就是堆排序。

然后就是向下调整建堆。假设给定一个数组，使用二叉树的形式表示，如下图所示 

假设这个二叉树，对于根来说，其左子树是大堆，右子树也是大堆，而这整个二叉树并不是大堆，我们就可以使用向下调整来使其变成大堆。可是这样一个随机的数组肯定是不满足上述的条件的，那么该如何使用向下调整算法来使其变成大堆呢？

答案就是倒着调整。

假设我们从最后一个数据开始，一个节点是既可以看作大堆也可以看作小堆的，此时我们就不需要对其进行调整，对于完全二叉树来说，他的叶子节点都不需要调整，所以我们就需要调整倒数第一个非叶子节点。以上图举例，也就是第三层第二个节点，将它和它的孩子节点看作一个树，这样就可以调整了。

那么倒数第一个非叶子节点的下标该怎么求呢？

倒数第一个非叶子节点是最后一个节点父亲节点。而最后一个节点的下标是n-1。所以倒数第一个非叶子节点的下标就是（n-1-1）/ 2；

	for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}

二.建堆的时间复杂度

既然有两种不同的建堆算法，那么采用哪一种算法来建堆是更加好的呢？

所以接下来算一算两个算法的时间复杂度 

对于一个完全二叉树而言，假设其高度是h,那么它的节点个数最少和最多情情况，分别是最后一层只有一个节点和一个满二叉树。

对于一个满二叉树来说总节点个数n和高度h的关系是

F(n) = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(h-1) = 2^h - 1。

h = log2(n + 1)

对于最后一层只有一个节点的二叉树而言总节点个数和高度h的关系是

F(n) = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(h-2) + 1 = 2^(h-1) - 1 + 1= 2^(h-1)。

h = log2(n) - 1

根据大O的渐进表示法，我们可以大致得到h = logN的。

这样我们就得到了h和N之间的关系。

1.向上调整

计算向上调整的时间复杂度，我们需要计算总共向上调整了几次。

T(h) = 2^1*1 + 2^2 * 2 + ... + 2^(h-2)*(h-2) + 2^(h-1)*(h-1).
2*T(h) =       2^2*1 + 2^3 * 2 + ... +         2^(h-1)*(h-2) + 2^h*(h-1).
-T(h) = 2^1 + 2^2 + ... +2^(h-1) - 2^h*(h-1).= 2^h  - 2 -2^h*(h-1)= 2^h(1-h+1) -2 T(h) = 2 + 2 ^ h * hT(N) = 2 + 2 * log(N) * N = O(N * logN)

向上调整的时间复杂度是N*logN.

2.向下调整

T(h) = 2^0*(h-1) + 2^1*(h-2) + ...             +2^(h-2) * 1
2 * T(h) =         2^1*(h-1) + 2^2*(h-2) + ... +2^(h-2) * 2+2^(h-1) * 1
T(h) = 2^1 + 2^2+...+2^(h-2) +2^(h-1) - (h-1)= 2^h - 2 - h + 1= 2^h - h - 1= N - logN - 1= O(N)

对比不难发现向下调整的时间复杂度算法更优。 

三.TopK问题

 TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
    比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能
数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
    前k个最大的元素，则建小堆
    前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素    
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

利用此算法的时间复杂度是O（N）