认识神经网络【多层感知器数学原理】

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1、什么是神经网络

人工神经网络（ Artificial Neural Network， 简写为ANN）也简称为神经网络（NN），是一种模仿生物神经网络结构和功能的计算模型。
人脑可以看做是一个生物神经网络，由众多的神经元连接而成。
各个神经元传递复杂的电信号，树突接收到输入信号，然后对信号进行处理，通过轴突输出信号。
下图是生物神经元示意图：

当电信号通过树突进入到细胞核时，会逐渐聚集电荷。达到一定的电位后，细胞就会被激活，通过轴突发出电信号。

2、人工神经网络

那怎么构建人工神经网络中的神经元呢？

这个流程就像，来源不同树突(树突都会有不同的权重)的信息，进行的加权计算，输入到细胞中做加和，再通过激活函数输出细胞值。
接下来，我们使用多个神经元来构建神经网络，相邻层之间的神经元相互连接，并给每一个连接分配一个强度，如下图所示：

神经网络中信息只向一个方向移动，即从输入节点向前移动，通过隐藏节点，再向输出节点移动。
其中的基本部分是:

1. 输入层：即输入 x 的那一层
2. 输出层：即输出 y 的那一层
3. 隐藏层：输入层和输出层之间都是隐藏层

特点是：

1. 同一层的神经元之间没有连接
2. 第 N 层的每个神经元和第 N-1层 的所有神经元相连（这就是full connected的含义)
3. 第N-1层神经元的输出就是第N层神经元的输入
4. 每个连接都有一个权值

3、多层感知器

详解上文提到的多层感知器：

多层感知器 (Multilayer Perceptron, MLP) 结构

3.1、输入层

输入层： Input Layer

输入特征 (Input Features)： $(x_1,x_2,x_3)$

1. 输入层的神经元数量等于输入特征的数量。
2. 在这个例子中，有三个输入特征$(x_1,x_2,x_3)$；输入特征可以来自数据集中的一个样本

3.2、隐藏层

隐藏层：Hidden Layers

3.2.1、隐藏层 1

1. 这是网络中的第一个隐藏层，包含多个神经元。
2. 每个神经元接收来自输入层的加权输入。
3. 每个连接（线条）代表一个权重$(w)$，这些权重在训练过程中会被调整。
4. 隐藏层神经元通过激活函数（例如 ReLU、Sigmoid 等）生成输出。

3.2.2、隐藏层 2

1. 这是网络中的第二个隐藏层，包含多个神经元。
2. 每个神经元接收来自隐藏层 1 的加权输入。
3. 这些输入经过加权求和并通过激活函数生成输出。

3.3、输出层

输出层：Output Layer

输出 (Outputs)：$(y_1,y_2)$

1. 输出层的神经元数量等于预测目标的数量。在这个例子中，有两个输出 $(y_1,y_2)$。
2. 每个输出神经元接收来自隐藏层 2 的加权输入。
3. 输出神经元可以使用线性激活函数（对于回归任务）或其他激活函数（如 Softmax 对于分类任务）生成最终的预测值。

3.4、前向传播

前向传播：Forward Propagation

3.4.1、加权和⭐

加权和：Weighted Sum

1. 每个神经元接收所有前一层神经元的输出，乘以各自的权重，并加上偏置项，然后计算加权和。
2. 数学表达式：$z_j^{(l)}={\sum }_{i=1}^{n^{(l-1)}}{w}_{ji}^{(l)}{a}_i^{(l-1)}+b_j^{(l)}$
3. 公式解释：
   • $(l)$ 表示当前层，$(j)$表示当前层的神经元索引，( i ) 表示前一层的神经元索引
   • $z_j^{(l)}$ 表示第 ($l$) 层第 ($j$) 个神经元的输入加权和。
   • $n^{(l-1)}$ 表示第 ($l-1$) 层的神经元数量。
   • $w_{ji}^{(l)}$ 表示从第 ($l-1$) 层第 $i$ 个神经元到第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的权重。
   • $a_i^{(l-1)}$ 表示第 ($l-1$) 层第 $i$ 个神经元的输出（激活值）。
   • $b_j^{(l)}$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的偏置。

3.4.2、激活函数

激活函数：Activation Function

1. 加权和$(z)$通过激活函数生成当前层神经元的输出。
2. 数学表达式：$a_j^{(l)}=f(z_j^{(l)})$
3. $a_j^{(l)}$ 表示第 $l$ 层第 $j$ 个神经元的输出（激活值），其中 $f$ 是激活函数。

3.5、反向传播

反向传播：Backward Propagation

3.5.1、计算梯度

计算梯度：Compute Gradients

1. 反向传播从输出层开始，通过计算损失函数的梯度，逐层向前传播误差，计算每个权重和偏置的梯度。
2. 数学表达式（举例说明）：$[{\delta }_j^{(l)}=\frac{\partial L}{\partial z_j^{(l)}}]$
3. $({\delta }_j^{(l)})$是第$(l)$层第$(j)$个神经元的误差项，$(L)$是损失函数。

3.5.2、更新权重和偏置

权重和偏置：Weights and Biases

1. 使用优化算法（如梯度下降）更新每个权重和偏置，以最小化损失函数。
2. 数学表达式：KaTeX parse error: {align*} can be used only in display mode.
3. 其中$(\eta )$是学习率。

4、小结

什么是神经网络：神经网络就是模拟人神经元的工作机理，并构造仿生的神经元来解决实际问题
一个简单的神经网络，包括输入层、隐藏层、输出层，其中隐藏层可以有很多层，每一层也可以包含数量众多的的神经元