奇偶函数的性质及运算

目录

定义

注意

特征

运算

拓展

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定义

设函数f(x)的定义域D；

1. 如果对于函数定义域D内的任意一个x，都有f(-x)=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
2. 如果对于函数定义域D内的任意一个x，都有f(-x)=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
3. 如果对于函数定义域D内的任意一个x，f(-x)=-f(x）与f(-x)=f(x）同时成立，那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
4. 如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x）或f(-x)=f(x）都不能成立，那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

注意

①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。

变式：

奇：f(x)+f(-x)=0； f(x)*f(-x) = -f^2(x)； f(x)/f(-x) = -1.

偶：f(x)-f(-x) = 0； f(x)*f(-x) = f^2(x)； f(x)/f(-x) = 1.

特征

定理：奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴对称。

推论：

• 如果对于任一个x，都有f(a+x)+f(b-x)=c，那么函数图像关于（a/2+b/2，c/2）中心对称；
• 如果对于任意一个x，有f(a+x)=f(a-x），那么函数图像关于x=a轴对称。

奇函数的图像关于原点对称  ——  点（x,y）→（-x,-y）

偶函数的图像关于y轴对称 ——  点（x,y）→（-x,y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

运算

1.  两个偶函数相加所得的和为偶函数。
2. 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
3. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
4. 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
5. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
6. 几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；若无偶函数则是奇函数。
7. 偶函数的和差积商是偶函数。
8. 奇函数的和差是奇函数。
9. 奇函数的偶数个积商是偶函数。
10. 奇函数的奇数个积商是奇函数。
11. 奇函数的绝对值为偶函数。
12. 偶函数的绝对值为偶函数。 

拓展

（1）设f(x)可导，则

• f(x)是奇函数---->f'(x)是偶函数
• f(x)是偶函数---->f'(x)是奇函数

（2）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

         连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数。

（3）设f(x)连续

• 若f(x)是奇函数，则是偶函数；
• 若f(x)是偶函数，则是奇函数。