奇偶函数的性质及运算
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定义
注意
特征
运算
拓展
定义
设函数f(x)的定义域D;
- 如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
- 如果对于函数定义域D内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
- 如果对于函数定义域D内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
- 如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
注意
①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式:
奇:f(x)+f(-x)=0; f(x)*f(-x) = -f^2(x); f(x)/f(-x) = -1.
偶:f(x)-f(-x) = 0; f(x)*f(-x) = f^2(x); f(x)/f(-x) = 1.
特征
定理:奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴对称。
推论:
- 如果对于任一个x,都有f(a+x)+f(b-x)=c,那么函数图像关于(a/2+b/2,c/2)中心对称;
- 如果对于任意一个x,有f(a+x)=f(a-x),那么函数图像关于x=a轴对称。
奇函数的图像关于原点对称 —— 点(x,y)→(-x,-y)
偶函数的图像关于y轴对称 —— 点(x,y)→(-x,y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
运算
- 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
- 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
- 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
- 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
- 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
- 几个函数复合,只要有一个是偶函数,结果是偶函数;若无偶函数则是奇函数。
- 偶函数的和差积商是偶函数。
- 奇函数的和差是奇函数。
- 奇函数的偶数个积商是偶函数。
- 奇函数的奇数个积商是奇函数。
- 奇函数的绝对值为偶函数。
- 偶函数的绝对值为偶函数。
拓展
(1)设f(x)可导,则
- f(x)是奇函数---->f'(x)是偶函数
- f(x)是偶函数---->f'(x)是奇函数
(2)连续的奇函数其原函数都是偶函数;
连续的偶函数其原函数中有且仅有一个是奇函数。
(3)设f(x)连续
- 若f(x)是奇函数,则
是偶函数;
- 若f(x)是偶函数,则
是奇函数。
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