P2801 教主的魔法

[题目通道](教主的魔法 - 洛谷)

摘要

分块，是一种优雅的暴力，它通过对数列分段，完成对数列一些区间操作和区间查询的操作，是一种根号算法。

这篇学习笔记&题解是本萌新在学习分块过程中的一些感悟，希望能够帮助分块零基础的同学学会基础分块。

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0 说明

本文中，以下变量有特定的含义：

• block⁡block：块的大小
• nn：被分块的数列的大小（长度）
• LxLx​：第 xx 号块的左边界
• RxRx​：第 xx 号块的右边界
• tot⁡tot：块的数量
• belong⁡xbelongx​：第 xx 号元素所属的块

在写作时，由于本萌新的失误，只好提前在这里令 [l,r][l,r] 与 [x,y][x,y] 等价。

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1 建块

1.1 建块需要完成的任务

在读入数据后，建块需要完成以下几个任务：

• 确定块的大小
• 确定块的数量
• 标记每个块的左右边界
• 标记每个元素所属的块
• 对每个块的数据进行初始化

1.2 确定块的大小

一般来说，我们习惯于令 block⁡=nblock=n​。

但是由于毒瘤良心命题人泛滥，block⁡=nblock=n​ 极其有可能被针对，在这种情况下，我们可以对块的大小适当作出一些调整，例如 n+1n​+1，n−1n​−1，nlg⁡(n)lg(n)n​​ 等。

一般这个工作只有一句话：

block = (int)sqrt((double)n);

1.3 确定块的数量

在确定了块的大小后，块的数目就很容易确定了。

但是 nn 不一定是一个完全平方数，我们需要把最后几个无法凑足 block⁡block 个元素的再单独分一个块。

代码如下：

tot = n / block;
if(n % block) tot++;

1.4 标记每个块的左右边界

非常显然，L1=1,R1=block⁡,L2=block⁡+1,R2=2×block⁡,⋯L1​=1,R1​=block,L2​=block+1,R2​=2×block,⋯

从而可以得出结论：

Lx=(x−1)⋅block⁡+1,Rx=x⋅block⁡Lx​=(x−1)⋅block+1,Rx​=x⋅block

特别地，Rtot⁡=nRtot​=n

代码：

for(int i = 1; i <= tot; i++){L[i] = (i - 1) * block + 1;R[i] = i * block;
}
R[tot] = n;

1.5 标记每个元素所属的块

根据 1.4，我们很容易推出公式如下：

belong⁡x=x−1block⁡+1belongx​=blockx−1​+1

代码如下：

for(int i = 1; i <= n; i++)belong[i] = (i - 1) / block + 1;

重要：在使用分块过程中，一定要注意区分 tot⁡tot 和 nn。 tot⁡tot 是块的总数，nn 是原来元素的总数。

1.6 对每个块的元素进行初始化

这项工作因题目不同而不同，如【教主的魔法】一题，就要对每个块的元素进行排序。

因为排序会对原始数列作出改变，所以在本题中，应当先把数列复制一遍再进行分块

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2 分块题常见的操作

修改：

• 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数加上 kk
• 对数列 [l,r][l,r] 内的每个数减去 kk
• etc.

查询：

• 求数列 [l,r][l,r] 内的所有数的和
• 求数列 [l,r][l,r] 内的数有多少大于/小于/大于等于/小于等于 kk
• etc.

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3 修改操作

考虑两种修改操作本质相同，第二种修改操作相当于第一种修改操作中 k=−k′k=−k′。

3.1 暴力修改

考虑枚举区间 [l,r][l,r] 之间所有数，直接对其实施修改，在修改的过程中维护每一个块的和/大小关系等。

但这不是我们考虑的东西

3.2 考虑线段树思想

线段树一个重要思想：lazytag

考虑应用在分块中。在修改操作中，如果是整块，就不维护每个的具体信息，而是在这个块的 lazy⁡lazy 标记上加上 kk。对于没有整块修改的部分（即块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​ 的修改部分），暴力修改。

这样的话，第 ii 个数据 aiai​ 的真正数据值为 ai+lazy⁡belong⁡iai​+lazybelongi​​。

如果询问涉及到排序，块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​ 需要全部重新备份和排序，对于块 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块，数的相对大小不会改变，所以可以不重新排序。

特别地，需要特判 belong⁡x=belong⁡ybelongx​=belongy​ 的情况。

代码：

void change(){if(belong[x] == belong[y]){for(int i = x; i <= y; i++){a[i] += k;sum[belong[x]] += k;}return;}for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){a[i] += k;sum[belong[x]] += k;}for(int i = L[belong[y]]; i <= y; i++){a[i] += k; sum[belong[y]] += k;}for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){lazy[i] += k;sum[i] += blo * k;}
}

对以下这句代码作出特别解释：

sum[i] += blo * k;

不用特判最后一块的原因是：如果操作区间覆盖到的最后一块，也一定是作为 belong⁡ybelongy​ 处理掉了，剩下来的块长一定是 block⁡block。

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4 查询操作

4.1 查询元素和

对于块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​，暴力枚举加和，注意加上其元素后还要加上 lazy⁡belong⁡ilazybelongi​​

对于 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块，直接 ans=ans+sum[i] 即可。

同样的，需要特判 belong⁡x=belong⁡ybelongx​=belongy​

代码：

int query_sum(){int ans = 0;if(belong[x] == belong[y]){for(int i = x; i <= y; i++){ans += a[i] + lazy[belong[x]];}return ans;}for(int i = x; i <= R[belong[x]]; i++){ans += a[i] + lazy[belong[x]];}for(int i = L[belong[x]]; i <= y; i++){ans += a[i] + lazy[belong[y]];}for(int i = belong[x] + 1; i <= belong[y] - 1; i++){ans += sum[i];}return ans;
}

4.2 查询关系

与4.1类似，在块 belong⁡xbelongx​ 和 belong⁡ybelongy​，暴力枚举求答案；

对于 [belong⁡x+1,belong⁡y−1][belongx​+1,belongy​−1] 的块，因为其是有序的，进行二分找到端点位置，然后加加减减求出块中有多少符合要求的元素即可。

本处代码见5.

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5 教主的魔法

在学习完分块后，我们可以发现，教主的魔法就是一道裸的分块题。

因此，完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#include<vector>
using namespace std;
int m,n,t,pos[1251000];
int s[2151000],flag[1251000];
vector<int>v[550000];void reset(int x) {v[pos[x]].clear();for(int i=(pos[x]-1)*m+1; i<=min(pos[x]*m,n); i++)v[pos[x]].push_back(s[i]);sort(v[pos[x]].begin(),v[pos[x]].end());
}void change(int a,int b,int c) {for(int i=a; i<=min(pos[a]*m,b); i++)s[i]+=c;reset(a);if(pos[a]!=pos[b]) {for(int i=(pos[b]-1)*m+1; i<=b; i++)s[i]+=c;reset(b);}for(int i=pos[a]+1; i<=pos[b]-1; i++)flag[i]+=c;
}int query(int l,int r,int c) {int ans=0;for(int i=l; i<=min(pos[l]*m,r); i++)if(s[i]+flag[pos[l]]<c)ans++;if(pos[l]!=pos[r]) {for(int i=(pos[r]-1)*m+1; i<=r; i++)if(s[i]+flag[pos[r]]<c)ans++;}for(int i=pos[l]+1; i<=pos[r]-1; i++) {int x=c-flag[i];ans+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin();}return ans;
}signed main() {scanf("%d %d",&n,&t);m=sqrt(n);for (int i=1; i<=n; i++) pos[i]=(i-1)/m+1;for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&s[i]);for(int i=1; i<=n; i++)pos[i]=(i-1)/m+1,v[pos[i]].push_back(s[i]);for(int i=1; i<=pos[n]; i++)sort(v[i].begin(),v[i].end());for (int i=1; i<=t; i++) {int a,b,c;char x;cin>>x;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);if (x=='M') {change(a,b,c);} else if (x=='A') {cout<<b-a+1-query(a,b,c)<<endl;}}return 0;
}