【贪心算法】一文让你学会“贪心”（贪心算法详解及经典案例）

🐱‍🐉作者简介：大家好，我是黑洞晓威，一名大二学生，希望和大家一起进步。
👿本文收录于 算法，本专栏是针对大学生、初学算法的人准备，解析常见的数据结构与算法，同时备战蓝桥杯。

前言

贪心算法是一种非常常见的算法，它的简单和高效性使其在实际应用中被广泛使用。

贪心算法的核心思想是在每一步都采取当前状态下最优的选择，而不考虑未来可能产生的影响。虽然贪心算法不能保证总是得到最优解，但在很多情况下，它可以获得很好的结果。

本篇文章将介绍贪心算法的基本概念和一些经典应用，以及如何通过贪心算法来解决一些实际问题。希望通过本文的阅读，读者可以对贪心算法有更加深刻的理解，并能够在实际问题中应用贪心算法来得到更好的解决方案。
让我们暴打贪心算法吧！

如何理解“贪心算法”？

关于贪心算法，我们先看一个例子。

假设我们有一个可以容纳100kg物品的背包，可以装各种物品。我们有以下5种豆子，每种豆子的总量和总价值都各不相同。为了让背包中所装物品的总价值最大，我们如何选择在背包中装哪些豆子？每种豆子又该装多少呢？

实际上，这个问题很简单，我估计你一下子就能想出来，没错，我们只要先算一算每个物品的单价，按照单价由高到低依次来装就好了。单价从高到低排列，依次是：黑豆、绿豆、红豆、青豆、黄豆，所以，我们可以往背包里装20kg黑豆、30kg绿豆、50kg红豆。

这个问题的解决思路显而易见，它本质上借助的就是贪心算法。结合这个例子，我总结一下贪心算法解决问题的步骤，我们一起来看看。

第一步，当我们看到这类问题的时候，首先要联想到贪心算法：针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。

类比到刚刚的例子，限制值就是重量不能超过100kg，期望值就是物品的总价值。这组数据就是5种豆子。我们从中选出一部分，满足重量不超过100kg，并且总价值最大。

第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决：每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。

类比到刚刚的例子，我们每次都从剩下的豆子里面，选择单价最高的，也就是重量相同的情况下，对价值贡献最大的豆子。

第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。严格地证明贪心算法的正确性，是非常复杂的，需要涉及比较多的数学推理。而且，从实践的角度来说，大部分能用贪心算法解决的问题，贪心算法的正确性都是显而易见的，也不需要严格的数学推导证明。

实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。

我来举一个例子。在一个有权图中，我们从顶点S开始，找一条到顶点T的最短路径（路径中边的权值和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T。按照这种思路，我们求出的最短路径是S->A->E->T，路径长度是1+4+4=9。

但是，这种贪心的选择方式，最终求的路径并不是最短路径，因为路径S->B->D->T才是最短路径，因为这条路径的长度是2+2+2=6。为什么贪心算法在这个问题上不工作了呢？

在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是，前面的选择，会影响后面的选择。如果我们第一步从顶点S走到顶点A，那接下来面对的顶点和边，跟第一步从顶点S走到顶点B，是完全不同的。所以，即便我们第一步选择最优的走法（边最短），但有可能因为这一步选择，导致后面每一步的选择都很糟糕，最终也就无缘全局最优解了。

贪心算法实战分析

对于贪心算法，你是不是还有点懵？如果死抠理论的话，确实很难理解透彻。掌握贪心算法的关键是多练习。只要多练习几道题，自然就有感觉了。所以，我带着你分析几个具体的例子，帮助你深入理解贪心算法。

1.分糖果

我们有m个糖果和n个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m<n），所以糖果只能分配给一部分孩子。

每个糖果的大小不等，这m个糖果的大小分别是s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这n个孩子对糖果大小的需求分别是g1，g2，g3，……，gn。

我的问题是，如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？

我们可以把这个问题抽象成，从n个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数（期望值）是最大的。这个问题的限制值就是糖果个数m。

我们现在来看看如何用贪心算法来解决。对于一个孩子来说，如果小的糖果可以满足，我们就没必要用更大的糖果，这样更大的就可以留给其他对糖果大小需求更大的孩子。另一方面，对糖果大小需求小的孩子更容易被满足，所以，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对我们期望值的贡献是一样的。

我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案。

2.钱币找零

这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元这些面额的纸币，它们的张数分别是c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付K元，最少要用多少张纸币呢？

在生活中，我们肯定是先用面值最大的来支付，如果不够，就继续用更小一点面值的，以此类推，最后剩下的用1元来补齐。

在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额，这样就可以让纸币数更少，这就是一种贪心算法的解决思路。直觉告诉我们，这种处理方法就是最好的。实际上，要严谨地证明这种贪心算法的正确性，需要比较复杂的、有技巧的数学推导，我不建议你花太多时间在上面，不过如果感兴趣的话，可以自己去研究下。

3.区间覆盖

假设我们有n个区间，区间的起始端点和结束端点分别是[l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这n个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

这个问题的处理思路稍微不是那么好懂，不过，我建议你最好能弄懂，因为这个处理思想在很多贪心算法问题中都有用到，比如任务调度、教师排课等等问题。

这个问题的解决思路是这样的：我们假设这n个区间中最左端点是lmin，最右端点是rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将[lmin, rmax]覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这n个区间排序。

我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。这实际上就是一种贪心的选择方法。

内容小结

今天我们学习了贪心算法。

实际上，贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。 从我个人的学习经验来讲，不要刻意去记忆贪心算法的原理，多练习才是最有效的学习方法。

贪心算法的最难的一块是如何将要解决的问题抽象成贪心算法模型，只要这一步搞定之后，贪心算法的编码一般都很简单。贪心算法解决问题的正确性虽然很多时候都看起来是显而易见的，但是要严谨地证明算法能够得到最优解，并不是件容易的事。所以，很多时候，我们只需要多举几个例子，看一下贪心算法的解决方案是否真的能得到最优解就可以了。

最后说一句

感谢大家的阅读，文章通过网络资源与自己的学习过程整理出来，希望能帮助到大家。

才疏学浅，难免会有纰漏，如果你发现了错误的地方，可以提出来，我会对其加以修改。