【代码随想录训练营第42期 Day32打卡 - 从零开始动态规划 - LeetCode 509. 斐波那契数 70. 爬楼梯 746. 使用最小花费爬楼梯

目录

一、做题心得

二、动规五步走

三、题目与题解

题目一：509. 斐波那契数

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题解1：记忆性递归

 题解2：动态规划

题目二：70. 爬楼梯 

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题解：动态规划

题目三：746. 使用最小花费爬楼梯

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题解：动态规划

三、小结

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一、做题心得

今天开始动态规划章节的第一部分。打卡的题目都比较基础，也比较经典，刚好作为入门。在最后一道题上，会详细讲讲代码随想录中卡哥的动规五步走，的确是很好的做题思路，将代码的每一步都具象化。

话不多说，直接开始今天的内容。

二、动规五步走

代码随想录中解决动态规划的五个步骤：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

对于简单的题，可以直接解答；复杂一点的，按照这五步走，可以使思路更加清晰。

三、题目与题解

题目一：509. 斐波那契数

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509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

题解1：记忆性递归

为什么不直接用递归呢？很显然，直接递归的时间复杂度太高，为了解决这个问题，我们采用数组存储每个已经出现的数值，这样就不需要每次都递归重新计算。

class Solution {
public:int fib(int n) {int dp[32];          //题目中 n <= 30, 可以直接一般数组；如果是处理任意大小的n，一般采用vector数组dp[0] = 0, dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
};

 题解2：动态规划

思路：由于 dp 列表第 i 项只与第 i−1 和第 i−2 项有关，因此只需要选取三个整形变量 sum, dp[0], dp[1]分别代表这三个位置（注意三者的初始化），利用辅助变量 sum 使 dp[0], dp[1] 两数字交替前进即可。

代码如下：

class Solution {
public:int fib(int n) {if (n <= 1)     return n;           //n <= 1时int dp[2];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = dp[0] + dp[1];            //sum作为中间辅助变量：记录第 i 项dp[0] = dp[1];          //dp[0]：记录 i - 2项dp[1] = sum;            //dp[1]：记录 i - 1项 （每次循环完成时，记录第 i 项）}return dp[1];    //n >= 2时}
};

题目二：70. 爬楼梯 

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70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

题解：动态规划

其实这道题和斐波那契数列那道题思路是一样的，只是值的初始化不同，这里我只给出动态规划的解法。 

class Solution {
public:int climbStairs(int n) {if (n <= 2)     return n;           //n <= 2时vector<int> dp(n+1);dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i < n + 1; i++) {           int sum = dp[1] + dp[2];dp[1] = dp[2];dp[2] = sum;}return dp[2];           //n >= 3时}
};

题目三：746. 使用最小花费爬楼梯

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746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

题解：动态规划

今天主要想说的就是这道题。

 这里我们按照动规五步走：

1.定义dp[i]数组--注意dp[i]表示到达第i台阶所花费的最少费用为dp[i]    

2.确定递推公式：

                        得到dp[i]有两种方式（前一个台阶处爬一步，前两个台阶处爬两步）：

                        (1) dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1];

                        (2) dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2];

    选择花费最小的，故递推公式：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])

    3.dp数组初始化：题目要求可以从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，即dp[0] = 0, dp[1] = 0

    4.确定遍历顺序：楼梯，台阶这一类问题一般都是直接从前往后遍历

    5.举例推导dp数组：列举几个数，看看满不满足

代码如下：

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();        //楼梯顶部的位置：最后一个阶梯之外vector<int> dp(n + 1);            dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[n];}
};

三、小结

今天的打卡到此也就结束了，动态规划的旅途还很漫长，后边也会继续努力。