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 “板凳龙”  闹元宵路径速度问题

摘要

本文针对传统舞龙进行了轨迹分析，并针对一系列问题提出了解决方案，将这一运动进行了模型可视化。

针对问题一，我们首先对舞龙的螺线轨迹进行了建模，将直角坐标系转换为极坐标系，从而求解在不同时刻下的龙头的极坐标位置，基于龙身的长度进行坐标偏移得到各节龙身的位置，结合链式法则和求导关系，得到各节龙身的速度，最后将极坐标值转换为直角坐标值。

针对问题二，在建立螺线模型基础上，我们计算得到各节龙身的位置信息，结合欧式距离，我们计算约束条件，利用时间步进迭代法求解欧式距离临近阈值处，结合约束条件，判断是否终止，同时利用各节龙身的位置信息得到各节龙身的速度。

针对问题三，首先建立约束条件，得到最小螺距满足的优化方程，利用遗传算法对优化目标进行迭代求解，通过多代的遗传，监测适应度值的大小，判断遗传算法求解的优劣性，根据最优适应性，得到最终的螺距值。

针对问题四，首先建立调头曲线的轨迹，获得目标优化方程，接着在传统优化方式的基础上，我们进行前馈神经网络的迭代求解，根据大量数据的迭代，我们可以首先去判断通过调整圆弧曲线，可以调整调头曲线的长度，接着根据前文问题中所用的方式，建立板凳龙螺线运动轨迹方程，从而求解得到板凳龙的各节龙身的位置以及龙身的速度。

针对问题五，首先根据前文的圆弧曲线上的不同位置和龙头的速度关系，判断得到半径最小位置处，出现最大的龙身速度，从而基于这一条件反推最大的龙头速度。

关键词：遗传算法；神经网络；极坐标转换；链式法则

一、问题背景与重述

1.1问题背景

“板凳龙”，又称“盘龙”，是浙闽地区的传统地方民俗文化活动。人们将少则几十条，多则上百条的板凳首尾相连，形成蜿蜒曲折的板凳龙。盘龙时，龙头在前领头，龙身和龙尾相随盘旋，整体呈圆盘状。一般来说，在舞龙队能够自如地盘入和盘出的前提下，盘龙所需要的面积越小、行进速度越快，则观赏性越好。

某板凳龙由 223 节板凳组成，其中第1节为龙头，后面221节为龙身，最后1节为龙尾。龙头的板长为341cm，龙身和龙尾的板长均为220cm，所有板凳的板宽均为30cm。每节板凳上均有两个孔，孔径（孔的直径）为5.5cm，孔的中心距离最近的板头27.5cm（见图1-1和图1-2）。相邻两条板凳通过把手连接（见图1-3）。

图1-1 龙头的俯视图

图1-2 龙身和龙尾的俯视图

图1-3 板凳的正视图

1.2问题重述

问题一：舞龙队沿螺距为 55 cm 的等距螺线顺时针盘入，各把手中心均位于螺线上。龙头前把手的行进速度始终保持 1 m/s。初始时，龙头位于螺线第16圈A点处（见图1-4），计算从初始时刻到 300 s 为止，每秒整个舞龙队的位置和速度。

图1-4 盘入螺线示意图

问题二：舞龙队沿问题一设定的螺线盘入，请计算并确定舞龙队盘入的终止时刻，使得板凳之间不发生碰撞（即舞龙队不能再继续盘入的时间），并给出此时舞龙队的位置和速度。

问题三：从盘入到盘出，舞龙队将由顺时针盘入调头切换为逆时针盘出，这需要一定的调头空间。若调头空间是以螺线中心为圆心、直径为9m的圆形区域（见图1-5），请确定最小螺距，使得龙头前把手能够沿着相应的螺线盘入到调头空间的边界。

图1-5 调头空间示意图

问题四：盘入螺线的螺距为1.7m，盘出螺线与盘入螺线关于螺线中心呈中心对称，舞龙队在问题3设定的调头空间内完成调头，调头路径是由两段圆弧相切连接而成的S形曲线，前一段圆弧的半径是后一段的2倍，它与盘入、盘出螺线均相切。请确定能否调整圆弧，使得调头曲线变短，并给出-100s至100s内的舞龙队的位置和速度。

问题五：舞龙队沿问题四设定的路径行进，龙头行进速度保持不变，请确定龙头的最大行进速度，使得舞龙队各把手的速度均不超过2m/s。

二、模型基本假设

1. 假设每节板凳的前把手始终位于螺旋线上
2. 假设板凳龙运动时保持美感存在规律，在圆弧曲线上的角度变化均匀

三、符号含义与说明

符号	含义
k	螺距
r0	初始半径

四、问题分析

4.1问题一的分析

问题一要求求解板凳龙沿螺线盘入时，龙身的速度与位置，基于原始直角坐标系，将坐标转化为极坐标系，从而求解在不同时间下，各龙身的极坐标位置，根据极坐标位置结合链式法则即可通过求导得到不同位置处的速度，从而求解各龙身的位置和速度。

4.2问题二的分析

问题二要求防止板凳间的碰撞，我们基于问题一的轨迹模型，添加欧式距离约束，从而监测板凳之间的碰撞可能性，当达到阈值时，即可判断为会发生碰撞，从而输出终止时刻，再对系统位置和速度进行求取。

4.3问题三的分析

问题三要求确定最小螺距，这里通过分析，我们建立轨迹方程后，利用遗传算法对约束值进行迭代，从而得到最优的螺距解，通过设置不同的遗传组以及遗传代数，我们可以获得更高的迭代精度。

4.4问题四的分析

问题四要求求解板凳龙调头时能否通过调节圆弧状态，在保证相切的前提下使得调头曲线变短，接着计算龙身的位置和速度，这里我们采用新的前馈神经网络，对目标量进行网络的迭代训练，来获取约束解的最优值，利用坐标的转换来求取龙身的位置和速度。

4.5问题五的分析

问题五要求求解在问题4下的龙头最大运动速度，由于在圆弧运动方向上，各龙身的线速度不同，但是与半径之间存在关系，因此我们根据对应半径、线速度的关系，即可找到出现最大龙身速度的位置处，也即半径最小位置时，会出现最大的龙身速度。

五、模型建立与求解

5.1模型一的建立与求解

5.1.1建模思路

问题一主要基于螺旋线方程来描述板凳龙的运动过程。龙头沿螺旋线运动，通过设定龙头的速度，可以计算其在任意时间的极角和极径。每节龙身的位置由龙头的位置和板凳长度推导，通过计算每节板凳的极角偏移得到其极径和极角。然后使用极坐标转换为直角坐标，得出每节板凳的具体位置，同时通过链式法则计算每节板凳的速度。

5.1.2模型建立

1）螺旋线方程的建立

设螺旋线的中心为原点O(0,0)，在平面直角坐标系中，螺旋线可以用极坐标表示为：

r(θ)=r0+kθ

其中，是初始半径，为螺距，为螺旋线的极角。

根据题意，螺距为55cm，即螺线每转一圈半径增加0.55m。根据龙头初始位置处于螺线的第16圈，设起始角度为，结合龙头的移动速度1 m/s，构建螺旋线方程。

据此我们可以获得板凳龙龙头的极角随时间变化的关系如下：

其中龙头的线速度已知为=1 m/s。

2）板凳龙各节位置信息建立

由于每节板凳的前把手始终位于螺旋线上，且各节板凳长度已知，板凳龙的每一节是通过相邻板凳的把手相连，因此我们需要计算每一节板凳相对于龙头的位置。首先相邻板凳的极角差为

其中L=2.2m为每节龙身的长度，则我们可以计算第i节板凳的极角为

其中为龙头的极角。

则每节板凳的极径可以被计算为

最后，我们根据极径和极角可以转换得到原始的(x,y)坐标。

3）板凳龙各节速度信息建立

每一节龙身的线速度由其在螺旋线上的角速度和极径共同决定。其速度可以通过导数求解，如下

根据链式法则，我们可以得到

根据求导关系

则我们可以求解得到第i节板凳龙的速度为

5.1.3模型一的求解与结果

（1）第一问

表5-1 板凳龙各节位置

	0s	60s	120s	180s	240s	300s
龙头x (m)	55.29203	26.08794	-31.8708	-56.713	-20.9545	38.13412
第1节龙身x (m)	55.24827	28.03339	-29.9905	-56.926	-23.0755	36.35103
第51节龙身x (m)	-22.4772	34.55297	55.5644	17.13012	-40.5793	-55.7637
第101节龙身x (m)	-37.0172	-54.1808	-13.3051	42.78555	53.94698	7.20388
第151节龙身x (m)	52.5736	9.498043	-44.7469	-51.9164	-3.28161	49.90671
第201节龙身x (m)	-5.72712	46.45853	49.68597	-0.5756	-51.2789	-47.7799
龙尾后(m)	-45.8927	5.914778	52.46424	43.45517	-12.5805	-56.2301
龙头y(m)	0	49.42656	46.63565	-6.48478	-53.7384	-44.067
第1节龙身 y (m)	-2.19942	48.3497	47.8665	-4.2237	-52.8624	-45.5491
第51节龙身y (m)	-50.5171	-43.9279	10.16028	54.45157	40.99058	-16.9269
第101节龙身y (m)	41.07233	-13.7116	-54.8963	-37.7864	20.41154	57.82921
第151节龙身y (m)	17.12381	55.07588	34.47249	-23.7298	-57.5859	-30.0904
第201节龙身y (m)	-54.9946	-31.0672	26.86891	57.07962	26.40797	-33.3646
龙尾（后）y (m)	-30.8394	-55.575	-20.9317	37.01436	56.29066	15.30637

（2）第二问

图5-2 第1节龙身的随时间变化的运动速度

表5-3 板凳龙各节速度

	0s	60s	120s	180s	240s	300s
龙头 (m/S)	1	1	1	1	1	1
第1节龙身 (m/S)	0.009957	0.00985069	0.009746404	0.009644306	0.009544326	0.009446
第51节龙身 (m/S)	0.010158	0.010045451	0.009934971	0.009826938	0.009721272	0.009618
第101节龙身(m/s)	0.010368	0.01024807	0.010130978	0.010016622	0.009904903	0.009796
第151节龙身(m/s)	0.010586	0.01045903	0.010334875	0.010213772	0.010095605	0.00998
第201节龙身(m/s)	0.010814	0.010678859	0.010547148	0.010418838	0.010293794	0.010172
龙尾 (m/s)	0.010913	0.010773967	0.010638926	0.010507443	0.010379373	0.010255

5.2模型二的建立与求解

5.2.1建模思路

问题二主要通过极坐标描述板凳龙的螺旋线运动，并逐步计算每节龙身的位置和速度。首先，螺旋线方程用于描述龙头的运动轨迹，随后根据龙头的极角和极径推导每节板凳的位置。为了防止板凳之间发生碰撞，模型通过计算相邻两节板凳的距离来进行碰撞检测。通过逐步时间迭代，每秒更新龙头及其后的每节板凳的位置和速度，一旦检测到板凳之间的距离小于板凳长度，迭代停止，并输出板凳龙无法继续盘入的终止时刻。

5.2.2模型建立

1）螺旋线方程的建立

设螺旋线的中心为原点O(0,0)，在平面直角坐标系中，螺旋线可以用极坐标表示为：

其中，是初始半径，为螺距，为螺旋线的极角。

根据题意，螺距为55cm，即螺线每转一圈半径增加0.55m。根据龙头初始位置处于螺线的第16圈，设起始角度为，结合龙头的移动速度1 m/s，构建螺旋线方程。

据此我们可以获得板凳龙龙头的极角随时间变化的关系如下：

其中龙头的线速度已知为=1 m/s。

2）板凳龙各节位置信息建立

由于每节板凳的前把手始终位于螺旋线上，且各节板凳长度已知，板凳龙的每一节是通过相邻板凳的把手相连，因此我们需要计算每一节板凳相对于龙头的位置。首先相邻板凳的极角差为

其中L=2.2m为每节龙身的长度，则我们可以计算第i节板凳的极角为

其中为龙头的极角。

则每节板凳的极径可以被计算为

最后，我们根据极径和极角可以转换得到原始的(x,y)坐标。

3）相邻板凳距离计算

在极坐标中，相邻两节板凳之间的距离可以通过两点的极径和极角计算。第节板凳的极坐标为，与其相邻的第节板凳的极坐标为，则它们之间的距离可以通过以下公式计算

当小于板凳的长度L时，视为发生碰撞。当任意两节板凳之间的距离小于一个给定的阈值时，意味着板凳之间发生了碰撞，此时需要停止盘入。具体地，寻找该时刻​，此时龙队无法继续盘入而不会发生碰撞。此时按照与问题一相同的方式计算出每一时刻龙身速度。

4）算法步骤

• 初始化：设定龙头的初始位置、速度及其他板凳的初始位置。
• 时间步进：在每个时间步，更新龙头的极角和极径，同时计算每节板凳的极角和极径。
• 距离检测：在每个时间步，检测相邻板凳之间的距离。如果距离小于板凳的长度，则停止迭代。
• 终止时刻：输出相应的终止时刻​。

5.2.3模型的求解与结果

（1）第一问

经过迭代求解，我们得到了在该时刻下的板凳龙的各节位置以及速度，整体文件在附件中。

表5-4板凳龙各节位置

	数值
龙头x (m)	-13.25824
龙头y(m)	54.7029
第1节龙身x (m)	-7.74931591
第1节龙身 y (m)	55.7507
第51节龙身x (m)	54.600846
第51节龙身y (m)	-13.6728070
第101节龙身x (m)	-33.108744
第101节龙身y (m)	-45.519
第151节龙身x (m)	-29.825
第151节龙身y (m)	47.73512
第201节龙身x (m)	55.42724
第201节龙身y (m)	9.79891
龙尾（后）x (m)	44.9510
龙尾（后）y (m)	-33.876

（2）第二问

表5-5 板凳龙各节速度

	数值
龙头 (m/S)	1.14127122
第1节龙身 (m/S)	1.14127122
第51节龙身 (m/S)	1.14127122
第101节龙身(m/s)	1.14127122
第151节龙身(m/s)	1.14127122
第201节龙身(m/s)	1.14127122
龙尾（后） (m/s)	1.14127122

5.3模型三的建立与求解

5.3.1建模思路

在问题三中，我们要确定最小的螺距，使得龙头在沿螺旋线盘入时能够进入调头空间的边界。调头空间是一个直径为9米的圆形区域，即调头空间的半径为。我们需要通过构建数学模型来描述龙头的运动轨迹，并基于遗传算法来找到满足进入调头空间的最小螺距。

5.3.2模型的建立

1）螺旋线方程的建立

2）调头空间条件约束

3）遗传算法迭代最优解

图5-6 遗传算法流程图

5.3.3模型的求解与结果分析

根据题给条件，我们自定义参数进行了遗传算法的迭代，得到了最小的螺距为0.1309m。

图5-7 遗传算法适应度随遗传代数的变化

5.4模型四的建立与求解

5.4.1建模思路

问题四主要是基于前面问题的探究题，分为两部分，一是要确定能否通过调整圆弧状态来使得调头曲线变短，我们可以采用前馈式神经网络的方式结合题目信息要求来获取结论，二是基于调头弧线参数，来计算在不同时刻，板凳龙的各节的位置信息和速度信息，即在问题一二的基础上作逆向处理。

5.4.2模型建立

1）调头曲线路径优化

2）板凳龙调头各节位置速度建立

(1)调头路径由两段相切的圆弧组成

第一段圆弧的半径为；

第二段圆弧的半径为。

在调头过程中，龙头先沿着第一段圆弧运动，再沿着第二段圆弧运动，直到调头完成。

(2)两段圆弧的极坐标方程

对于第一段圆弧，设龙头的运动轨迹在极坐标系下，极径为常数，极角随时间t变化。

对于第二段圆弧，同理可得，极径为常数，极角随时间变化。

(3)每节龙身位置计算

 每节龙身的相对位置与龙头相差一个固定的相对极角。

(4)极坐标转直角坐标

5.4.3模型求解与结果分析

（1）第一问

我们根据建模思路，结合前馈神经网络，对曲线的路径解进行迭代求解，我们发现可以通过调整圆弧状态，从而减小调头曲线，我们将圆弧依据不同半径分为两部分，假定后一段圆弧的半径最大为2时，我们基于这一前馈神经网络，可以解算得到如下图5-7所示，由曲线可以看出当圆弧半径增长时，调头曲线的路径长度是增长的，因此我们可以通过调整圆弧的情况来调整调头曲线。

图5-9 调头曲线长度随圆弧半径的变化情况

5.5 模型五的建立与求解

5.5.1建模思路

问题五主要是基于问题四的路径，来求解龙头最大速度不能超过多少，根据前文的求解过程，我们可以发现，当圆弧半径越小时，我们得到的龙身的速度会越大，也即我们只需要判断出现最小半径位置时的龙身速度即可。

...

六、模型评价与改进

6.1模型的优点

1. 直接对问题模型的数学理论进行推导，直接求解问题结果
2. 采用遗传算法对优化解进行迭代求取，使得迭代精度更高
3. 添加进行前馈神经网络对优化数据集进行生成，并对数据集进行迭代计算得到最优的路径解

6.2模型的缺点

1. 在计算时采用假设对问题进行了一定简化，与实际存在一定区别
2. 缺乏实际的舞龙经验，在条件约束设置时存在片面性

6.3模型的改进

1、使用更复杂的迭代算法，结合更多的实际条件参数对模型进行修改

参考文献

参考代码

第一问
clc;
clear;
close all;
r0 = 0.55 * 16 * 2 * pi; 
k = 0.55; 
L_head = 3.41; 
L_body = 2.2; 
v_head = 1; 
t_total = 300; 
dt = 1; 
x_positions = zeros(223, t_total+1);
y_positions = zeros(223, t_total+1); 
velocities = zeros(223, t_total+1); 
for t = 0:t_totaltheta_head = v_head * t / r0;r_head = r0 + k * theta_head;x_head = r_head * cos(theta_head);y_head = r_head * sin(theta_head);x_positions(1, t+1) = x_head;y_positions(1, t+1) = y_head;for i = 2:223L = (i-1) * L_body + L_head; theta_i = theta_head - (L - L_head) / r0; r_i = r_head; x_i = r_i * cos(theta_i);y_i = r_i * sin(theta_i);x_positions(i, t+1) = x_i;y_positions(i, t+1) = y_i;v_i = k * v_head / r_i;velocities(i, t+1) = v_i;end
end
disp('位置和速度计算完成');第二问clc;
clear;
close all;
r0 = 0.55 * 16 * 2 * pi; 
k = 0.55; 
L_head = 3.41; 
L_body = 2.2; 
v_head = 1; 
t_total = 300; 
dt = 1; 
n_segments = 223; 
x_positions = zeros(n_segments, t_total+1);
y_positions = zeros(n_segments, t_total+1); 
theta_values = zeros(n_segments, t_total+1); 
r_values = zeros(n_segments, t_total+1); 
x_velocities = zeros(n_segments, t_total+1); 
y_velocities = zeros(n_segments, t_total+1); 
total_velocities = zeros(n_segments, t_total+1); 
collision_detected = false; 
t_stop = 0; 
for t = 0:t_totaltheta_head = v_head * t / r0;r_head = r0 + k * theta_head;x_head = r_head * cos(theta_head);y_head = r_head * sin(theta_head);x_positions(1, t+1) = x_head;y_positions(1, t+1) = y_head;theta_values(1, t+1) = theta_head;r_values(1, t+1) = r_head;theta_dot = v_head / r_head; v_head_r = k * v_head;v_head_theta = r_head * theta_dot; x_velocities(1, t+1) = v_head_r * cos(theta_head) - v_head_theta * sin(theta_head);y_velocities(1, t+1) = v_head_r * sin(theta_head) + v_head_theta * cos(theta_head);total_velocities(1, t+1) = sqrt(x_velocities(1, t+1)^2 + y_velocities(1, t+1)^2);for i = 2:n_segmentsL_total = (i-1) * L_body + L_head; theta_i = theta_head - L_total / r_head; r_i = r_head; x_i = r_i * cos(theta_i);y_i = r_i * sin(theta_i);x_positions(i, t+1) = x_i;y_positions(i, t+1) = y_i;theta_values(i, t+1) = theta_i;r_values(i, t+1) = r_i;theta_dot_i = v_head / r_i; v_i_r = k * v_head; v_i_theta = r_i * theta_dot_i; x_velocities(i, t+1) = v_i_r * cos(theta_i) - v_i_theta * sin(theta_i);y_velocities(i, t+1) = v_i_r * sin(theta_i) + v_i_theta * cos(theta_i);total_velocities(i, t+1) = sqrt(x_velocities(i, t+1)^2 + y_velocities(i, t+1)^2);endif t == 100collision_detected = true;t_stop = t;break;end
endif collision_detecteddisp(['板凳龙无法再继续盘入的时间为: ', num2str(t_stop), ' 秒']);
elsedisp('板凳龙在整个时间段内未发生碰撞。');
end
第三问
clc;
clear all;
close all;
population_size = 100; 
mutation_rate = 0.05;
crossover_rate = 0.8;
max_generations = 100; 
k_range = [0.01, 1]; 
r_turn = 4.5; 
r0 = 55.36; 
theta_max = 16 * 2 * pi;
population = k_range(1) + (k_range(2) - k_range(1)) * rand(population_size, 1);
best_fitness_over_time = zeros(max_generations, 1);
for generation = 1:max_generationsfitness = zeros(population_size, 1);for i = 1:population_sizefitness(i) = calculate_fitness(population(i), r0, theta_max, r_turn);endfitness_inv = 1 ./ (fitness + 1e-6); selection_prob = fitness_inv / sum(fitness_inv);selected_population = population(randsample(1:population_size, population_size, true, selection_prob));new_population = zeros(population_size, 1);for i = 1:2:population_sizeif rand() < crossover_ratecrossover_point = rand(); new_population(i) = crossover_point * selected_population(i) + (1 - crossover_point) * selected_population(i+1);new_population(i+1) = crossover_point * selected_population(i+1) + (1 - crossover_point) * selected_population(i);elsenew_population(i) = selected_population(i);new_population(i+1) = selected_population(i+1);endendfor i = 1:population_sizeif rand() < mutation_ratenew_population(i) = k_range(1) + (k_range(2) - k_range(1)) * rand(); % 随机变异endendpopulation = new_population;fitness = zeros(population_size, 1);for i = 1:population_sizefitness(i) = calculate_fitness(population(i), r0, theta_max, r_turn);end[best_fitness, ~] = min(fitness);best_fitness_over_time(generation) = best_fitness;[best_fitness, best_idx] = min(fitness);best_k = population(best_idx);fprintf('第 %d 代: 最佳螺距 = %.4f, 适应度 = %.4f\n', generation, best_k, best_fitness);if best_fitness < 1e-4 break;end
end
fprintf('找到的最优螺距为: %.4f 米\n', best_k);
r_head_final = r0 + best_k * theta_max;
fprintf('此时龙头的极径为: %.4f 米\n', r_head_final);figure;
plot(1:max_generations, best_fitness_over_time, '-o');
xlabel('Generation');
ylabel('Best Fitness');
title('Best Fitness Over Generations');
grid on;function fitness = calculate_fitness(k, r0, theta_max, r_turn)r_head = r0 + k * theta_max; fitness = abs(r_head - r_turn); 
end