微积分直觉：隐含微分

目录

一、介绍

二、梯子问题

三、结论

四、一个额外的例子

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一、介绍

        让我们想象一个半径为 5 的圆，以 xy 平面为中心。现在假设我们想在点 （3,4） 处找到一条切线到圆的斜率。

        好吧，为了做到这一点，我们必须非常接近圆和切线之间的空间，并沿着该曲线迈出一小步。该步骤的 y 分量为 dy，x 分量为 dx。斜率是 rise over run 或 dy 除以 dx。

        与微积分中的其他切线斜率问题不同，这条曲线不是函数的图，因此我们不能采用简单的导数。x 和 y 不是输入和输出，但它们是相互依赖的值。圆的方程称为隐式曲线，它是一组 xy 点，满足以两个变量表示的一些属性。

        如何找到 dy/dx 的过程非常奇怪！你对两边都取导数，所以对于 x²，你会写 2x dx，y² 变成 2y dy。右侧常数的导数为零。

        这似乎与计算导数的常规方法非常不同。对具有多个变量的表达式进行导数意味着什么？为什么 dy 和 dx 是这样写的？

        如果你盲目地向前移动，你会得到 dy/dx 等于 -x/y。因此，在坐标为 3,4 的点处，该斜率将为负 3 除以 4。这个奇怪的过程称为隐式微分。稍后我们将解释如何进行互操作，但首先让我们看看另一个有助于我们实现目标的问题。

二、梯子问题

        想象一下，一个 5 米长的梯子靠墙支撑，梯子的顶部高出地面 4 米。那么根据勾股定理，底部必须在 3 米远的地方。

        假设梯子正在滑落，以至于梯子的顶部每秒下降 1 米。现在的问题是，在最初的那一刻，底部梯子从墙上移动的速度是多少？由于所有这些因素都是相关的，我们应该有足够的信息来解决。

        第一步是为所有数量命名。从梯子顶部到地面的距离称为 y（t）。梯子底部与墙壁的距离称为 x（t）。将这些项联系起来的关键方程是勾股定理 （y（t）² + x（t）² = ⁵²）。

        解决这个问题的一种方法是隔离 x（t），并根据每秒 1 米的丢包率找出 y（t） 必须是什么。然后你可以对结果函数进行导数（x 相对于时间的变化率）。

        但是，对于同一问题，也存在不同的思考方式。方程的左侧是时间 （y（t）² + x（t）²） 的函数，它恰好等于一个常数，这意味着该值不会随着时间的流逝而改变，但仍被写为依赖于时间的表达式。这意味着我们可以像任何其他将 t 作为输入的函数一样操作它。这意味着我们可以取这个左侧的导数。这意味着，如果经过一点时间（一些小的 dt），这会导致 y 略微减少，x 略微增加。那么这就给我们留下了一个问题，x（t）² + y（t）² 变化了多少？

        但是，对于同一问题，也存在不同的思考方式。方程的左侧是时间 （y（t）² + x（t）²） 的函数，它恰好等于一个常数，这意味着该值不会随着时间的流逝而改变，但仍被写为依赖于时间的表达式。这意味着我们可以像任何其他将 t 作为输入的函数一样操作它。这意味着我们可以取这个左侧的导数。这意味着，如果经过一点时间（一些小的 dt），这会导致 y 略微减少，x 略微增加。那么这就给我们留下了一个问题，x（t）² + y（t）² 变化了多少？

        我们知道导数应该是 0，因为方程等于一个常数。但是，当您计算这个导数时，您实际上会得到什么呢？

        x（t）² 的导数是 x（t） 的 2 乘以 x 的导数（链式法则）。2x dx 表示由 x 的某个变化引起的 x 平方变化的大小，然后我们除以 dt。同样，y（t）² 的变化速率是 y（t） 的 2 乘以 y 的导数。

        现在这个整个表达式必须等于 0，这只是意味着 x² + y² 在梯子移动时不应该改变。在时间 t 等于 0 的起点，高度 y（t） 为 4 米，距离 x（t） 为 3 米。由于梯子的顶部每秒下降 1 米，因此导数 dy/dt 为每秒 -1 米。这提供了足够的信息来隔离 dx/dt。

        当你计算时，dx/dt 结果是每秒 4/3 米。

三、结论

        我解释这个梯子问题的原因是，我希望你把它比作求一条切线到一个圆的斜率的问题。在这两种情况下，我们都有 x² + y² = ⁵² 的方程。此外，在这两种情况下，我们最终都采用了表达式的每一侧的导数。但是对于梯子问题，表达式是时间的函数，因此取导数具有明确的含义（表达式随时间变化而变化的速率）。

        但让圆示例奇怪的是，导数不是说 dt 已经过去了少量时间，这会导致 x 和 y 发生变化，而是只有这些自由浮动的轻推（dx 和 dy），它们与时间等公共变量无关。

        让我们以一种很好的方式考虑这个问题。假设 x² + y² 等于 S。S 是两个变量（x 和 y）的函数。它获取平面上的每一个点 xy 并将其与一个数字相关联。对于圆上的点，该数字恰好是 25。如果您离开圆圈，该值会更大。对于更靠近原点的其他点 xy，该数字会更小。取 S 的导数意味着考虑这两个变量的微小变化，一些微小的变化 dy 到 y，一些微小的变化 dx 到 x（不一定让你留在圆圈里，它可以在任何方向）。从那里你问 S 的值变化了多少？

        微移之前和之后的 S 值之差称为 dS。

        现在让我们看看这张图片：

        在这张图片中，我们可以看到我们从 x 等于 3 且 y 等于 4 的点开始。假设 dx 为 -0.02，dy 为 -0.01。

        S 的减少（该步骤中 x² + y² 的变化量）由上面的等式表示。这就是这个衍生词的真正含义。请务必注意，这是一个近似值，对于较小的微移，它会变得越来越真实。这里的关键点是，当你把自己限制在圆上的点上时，你基本上是在说你想确保 S 的值不会改变（它从值 25 开始，你想保持它在那里，也就是 dS 应该是 0）。将 2x dx + 2y dy 设置为 0 是使这些微小步骤保持在圆圈上的条件。同样，这只是一个近似值，更准确地说，它使您保持在圆的切线上，但对于足够小的步长，它们本质上是相同的。

四、一个额外的例子

表达式 x² + y² = ⁵² 没有什么特别之处，所以让我们也考虑一下表达式 sin（x）y² = x。

        这些曲线表示 sin（x） 时间 y² 的值恰好等于 x 值的所有点 xy。现在想象一下，使用组件 dx dy 迈出一些小步骤，而不是一个不一定让您保持在曲线上的步骤。

        对这个方程的每一侧进行导数，就可以告诉我们在步骤中该侧的值发生了多少变化。当我们使用乘积规则对每一方进行导数时，我们得到的是：

        将这些边设置为彼此相等是一种说法，无论坐标 dx 和 dy 是什么步长，如果它要使我们保持在曲线上，那么左手边和右边的值必须变化相同的量（这是原始方程 sin（x）y² = x 保持为真的唯一方式）。

        从这里开始，根据你要解决的问题，你可以用代数的方式处理一些东西。最常见的目标通常是找到 dy 除以 dx。