无人机动力系统设计之桨叶推力计算

1. 源由

在《无人机动力系统设计基础知识》中，我们已经大体上给出了基本介绍。

在此，将从物理角度解释和给出动力系统设计时采用的公式和关键点。

2. 关键参数

简单进行分门别类对参数进行一个简单区分：

• 特性参数：设计桨叶，自身特性；是间接对外的一些属性。
• 安装参数：使用、固定安装方面考虑的因素。
• 动力参数：动力系统设计时需要考虑的主要因素；与动力输出直接挂钩。

2.1 特性参数

2.1.1 材质（Material）

螺旋桨通常由以下几种材质制成：
- 塑料（Plastic）：轻便、价格低廉，但强度和耐久性相对较低。
- 碳纤维（Carbon Fiber）：重量轻、强度高、刚性强，适用于高性能无人机，但价格较贵。
- 尼龙混合材料（Nylon Composite）：常见于中档螺旋桨，具有良好的强度和耐用性。

2.1.2 叶片数量（Number of Blades）

螺旋桨的叶片数量通常为 2 片、3 片或 4 片：
- 2 片螺旋桨：效率高，耗电量低，常用于较轻的无人机。
- 3 片或 4 片螺旋桨：增加了推力和操控性，但效率略低，适用于竞速无人机和高负载应用。

2.1.3 重量（Weight）

螺旋桨本身的重量，通常以克（g）为单位。重量较轻的螺旋桨有助于减少无人机的整体重量和电机的负载。

2.1.4 噪音水平（Noise Level）

一些螺旋桨规格书会提到螺旋桨的噪音水平，尤其是对于需要安静飞行的无人机场景。

2.2 安装参数

2.2.1 旋向（Rotation Direction）

• 螺旋桨的旋转方向通常分为顺时针（CW, Clockwise）和逆时针（CCW, Counterclockwise）。
• 无人机通常需要配对的 CW 和 CCW 螺旋桨，以实现平衡的飞行控制。

2.2.2 安装孔直径（Hub Diameter & Mounting Hole）

• 中心孔直径：用于安装螺旋桨的电机轴的直径，通常为 5mm、6mm 或 8mm。
• 固定孔数量：一些螺旋桨需要通过多个螺丝固定在电机上，通常会标明固定孔的数量及直径。

2.3 动力参数

2.3.1 螺旋桨尺寸（Size）

• 螺旋桨的尺寸通常以英寸表示，格式为 直径 x 螺距（Diameter x Pitch）。例如，10x4.5 表示直径为 10 英寸，螺距为 4.5 英寸。
  • 直径：螺旋桨旋转时划过的圆的直径。直径越大，产生的推力越大。
  • 螺距：螺旋桨每转一圈前进的距离，表示螺旋桨的进气角。螺距越大，速度越快，但所需动力也更大。

2.3.2 适用电机（Compatible Motors）

• 规格书中通常会列出适合该螺旋桨的电机 Kv 值范围，以确保电机和螺旋桨的推力匹配。例如，低 Kv 电机通常搭配大直径、大螺距的螺旋桨，而高 Kv 电机则搭配小直径、低螺距的螺旋桨。

2.3.3 最大推力（Max Thrust）

• 螺旋桨在特定电压、电机和转速下产生的最大推力，通常以克（g）或千克（kg）表示。这个参数帮助评估螺旋桨的性能。

2.3.4 效率（Efficiency）

• 螺旋桨的推力与功耗之比，表示为每瓦产生的推力（g/W），效率高的螺旋桨能够在较少能量消耗的情况下产生更多推力。

3. 物理分析

3.1 伯努利方程

在空气动力学中，推力的计算通常基于动量定理或伯努利方程。在推导螺旋桨推力时，遵循动量定理（Momentum Theory）表明，螺旋桨产生的推力等于通过螺旋桨的空气流量和流速的变化量。具体推导如下：

Step 1: 空气流量

螺旋桨在单位时间内通过的空气量是气流速度 $V_{\text{eff}}$ 与扫掠面积 $A$ 的乘积。

$$\text{流量}=A\cdot V_{\text{eff}}$$

Step 2: 动量定理

根据动量定理，推力 ( T ) 等于单位时间内空气流量和气流速度的变化量：

$$T=\text{流量}\cdot \Delta V$$

其中 $\Delta V$ 是气流速度的变化量。在理想情况下，气流速度的变化量 $\Delta V$ 等于气流的出速度 $V_{\text{eff}}$，因为气流从螺旋桨的前方进入并以 $V_{\text{eff}}$ 的速度离开。

$$T=A\cdot V_{\text{eff}}\cdot V_{\text{eff}}=A\cdot V_{\text{eff}}^2$$

Step 3: 考虑空气密度

由于流量公式和推力公式中的气流动量是基于单位体积空气的质量，因此需要将公式乘以空气密度 $\rho$ 来得到实际的推力：

$$T=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot A\cdot V_{\text{eff}}^2$$

这个公式源于实际计算中，推力是由单位体积空气的动量变化产生的，因此要乘以空气密度 $\rho$ 以考虑到空气的实际质量。

其中：

• $T$：推力（单位：牛顿，N）
• $\rho$：空气密度（单位：kg/m³），标准大气压下取 $1.225{\text{kg/m}}^3$
• $A=\frac{\pi D^2}{4}$：螺旋桨的扫掠面积（单位：m²），其中 $D$ 是螺旋桨的直径（单位：m）
• $V_{\text{eff}}=n\cdot P$：螺旋桨的有效速度（单位：m/s），由转速和螺距决定

3.1 简化公式

考虑螺旋桨的螺距和转速的关系，螺旋桨的有效速度 $V_{\text{eff}}$ 计算如下：

$$V_{\text{eff}}=n\cdot P\cdot \frac{1}{60}$$

其中：

• $n$：螺旋桨的转速（单位：转每分钟，RPM）
• $P$：螺旋桨的螺距（单位：米，m）
• $\frac{1}{60}$：将螺旋桨转速转换为每秒

将这些代入推力公式，我们得到最终的推力表达式：

$$T=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot \frac{\pi D^2}{4}\cdot {\left(n\cdot P\cdot \frac{1}{60}\right)}^2$$

3.2 参数说明

• $T$：推力（N）
• $\rho$：空气密度，标准值为 $1.225{\text{kg/m}}^3$
• $D$：螺旋桨直径（m）
• $n$：螺旋桨转速（RPM）
• $P$：螺旋桨螺距（m）

3.3 使用步骤

1. 确定螺旋桨的直径 $D$ 和螺距 $P$（从螺旋桨规格书中获得）。
2. 测量或估算螺旋桨的转速 $n$。
3. 使用空气密度 $\rho$ 的标准值 $1.225{\text{kg/m}}^3$（或者根据飞行环境进行调整）。
4. 将上述参数代入公式，计算推力 $T$。

此公式是基于螺旋桨的螺距和转速来估算推力的，适用于近似计算无人机的推力输出。实际推力可能还会受到其他因素的影响，如螺旋桨形状、空气流动模式等。

注：不同海拔高度，为什么起飞重量有差异，就是这里的空气密度不一样，导致了推力不一样。通常来说海拔高，空气密度低，所以推力若，起飞重量就会下降。

4. 桨叶举例

• 型号: 56x20" Carbon Fiber Propeller
• 材质: 碳纤维
• 叶片数量: 2 片
• 直径: 56 英寸（约 1.42 米）
• 螺距: 20 英寸（约 0.51 米）
• 旋向: CW/CCW（配对）
• 中心孔直径: 6mm
• 最大推力: TBD (选择满足扭矩要求的电机)
• 重量: 15g

为了代入推力公式计算最大推力，我们首先需要将螺旋桨的参数转换为适用的单位，并进行计算。以下是详细的步骤：

4.1 参数转换

• 直径 $D$: 56 英寸 = 1.42 米
• 螺距 $P$: 20 英寸 = 0.51 米
• 转速 $n$: 最大 3000 转每分钟（RPM）
• 空气密度 $\rho$: 1.225 kg/m³（标准大气压下）

4.2 有效速度 $V_{\text{eff}}$ 计算

通过测试电调+桨叶的效率曲线：

有效速度 $V_{\text{eff}}$ 可以通过以下公式计算：

$$V_{\text{eff}}=\frac{n\cdot P}{60}$$

其中 $n$ 是转速，$P$ 是螺距。将最大3000RPM参数代入公式：

$$V_{\text{eff}}=\frac{3000\cdot 0.51}{60}$$

$$V_{\text{eff}}=\frac{1530}{60}=25.5\text{ m/s}$$

4.3 推力 $T$ 计算

使用推力公式：

$$T=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot A\cdot V_{\text{eff}}^2$$

其中：

• $A$ 是扫掠面积，计算公式为 $A=\frac{\pi D^2}{4}$。

首先计算扫掠面积 $A$：

$$A=\frac{\pi \cdot (1.42{)}^2}{4}$$

$$A=\frac{\pi \cdot 2.0164}{4}=1.585{\text{ m}}^2$$

然后计算推力：

$$T=\frac{1}{2}\cdot 1.225\cdot 1.585\cdot (25.5{)}^2$$

$$T=0.6125\cdot 1.585\cdot 650.25$$

$$T\approx 620.4\text{ N}$$

4.4 计算结论

• 最大推力: 620.4 N（约 63.3 kgf）

这个推力计算是基于假设螺旋桨的扫掠面积和有效速度的理想状态，实际推力可能会受到空气动力学效应、螺旋桨效率以及其他因素的影响。

5. 总结

从上面的物理公式推导，示例电调+桨叶的简单计算，我们可以在非常简单高中物理基础上理解无人机动力系统时如何产生推力的。

6. 参考资料

【1】无人机动力系统设计之电调+电机关键参数推演
【2】无人机动力系统设计基础知识