【蓝桥杯真题】包子凑数（裴蜀定理、动态规划、背包问题）

题意

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入与数据范围

第一行包含一个整数$N$。$(1<=N<=100)$
以下$N$行每行包含一个整数$Ai$。$(1<=Ai<=100)$

算法（裴蜀定理，背包问题）

先给出两个数$x$，$y$是否能凑出最大数的问题。

• 如果$x$和$y$的最大公约数是1，那么它们存在不能够凑出的最大数，并且它们不能凑出的最大数是：$(x-1)\times (y-1)-1$
• 在本题中，不能够凑出最大数意味着：他们不能凑出的数是有限的，因为不能够凑出的最大数为$up$，等价着大于$up$的所有数都能够被凑出，那么不能够凑出的数只可能在区间$[1,up]$中，显然，这个区间中的数是有限的。

所以我们先把所有蒸笼所装的包子数的最大公约数$d$给算出来。

// 最大公约数代码
int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

如果$d$不等于1，那么他们不存在不能够凑出的最大数，等价于不能够凑出的包子数量为无限个INF(infinity)。

否则我们就用动态规划来解决$d$等于1的情况，其实这种情况很简单。我们大致估计一下最大的不能够被凑出的包子数量的量级为：$(100-1)\times (100-1)-1$，即为$10000$量级。

我们定义状态数组：$boolf[110][10010]$
其中$f[i][j]$表示这$A1\sim Ai$这些$i$个蒸笼是否能够凑出数量为$j$的包子。

起初$f[0][0]=true$表示着$0$个包子可以被凑出，因为我们不需要选择任何蒸笼就已经凑出$0$个包子。

状态计算：$f[i][j]=f[i-1][j]$ 和 $f[i][j]=f[i][j-a[i]](j>=a[i])$

AC代码（C++）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110, M = N * N;int n;
int a[N];
bool f[N][M];int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;
}int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];int d = 0;for (int i = 1; i <= n; i ++) d = gcd(d, a[i]);if(d != 1) cout << "INF" << "\n";else {f[0][0] = true;for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {for (int j = 0; j < M; j ++) {f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= a[i]) {f[i][j] |= f[i][j - a[i]];}}}int res = 0;for (int i = 0; i < M; i ++)if(!f[n][i]) res ++ ;cout << res << "\n";}return 0;
}