基于二分查找的动态规划 leetcode 300.最长递增子序列

如题：

https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/

其实常规动态规划的解法就没什么好说的了，有意思的是官方放出了一个二分查找的动态规化解法，时间复杂度能降到O(nlog(n))，但是为什么这样能解，似乎讲的不是那么清楚。

另外，即使是从操作步骤及状态转移函数上来说，可能俄罗斯套娃的第二个解里面还说的更清楚一点~~。具体可以去看题解：

. - 力扣（LeetCode）. - 备战技术面试？力扣提供海量技术面试资源，帮助你高效提升编程技能,轻松拿下世界 IT 名企 Dream Offer。https://leetcode.cn/problems/russian-doll-envelopes/solutions/633231/e-luo-si-tao-wa-xin-feng-wen-ti-by-leetc-wj68/注：因为俄罗斯套娃信封问题，最终转换成了最长递增子序列问题，所以在求最长递增子序列的时候的解法是一模一样的，下面的截图就是354.俄罗斯套娃信封问题的官方解二。

这里面最关键的就是“f[j]表示h的前i个元素可以组成的长度为j的最长严格递增子序列的末尾元素的最小值”这一点，只要f[j]满足这一条件（状态转移的公式也完全是按照这个概念来的），并且把所有有定义的f[j]都计算完，那么最大的j就是最长严格递增子序列的长度（j从0开始，则长度就是最大的j加1啦）。

一。初步实操

不过这个概念似乎本身就有点绕啊，结合一下实际操作更容易理解，并且操作过程我稍微加点东西（参考的是laboladong的算法笔记里面的patience game纸牌游戏，不过他也没有说这么解为什么一定行）

数组就用题目里的，即nums=[0,3,1,6,2,2,7]，f函数也可以当成一个列表，长度会一点点增长，元素值也可能会更新，一开始f是空的。

第1步，直接把nums第0个元素加到f中，即f[0]=0

此时的f[0]的含义就是当前长度为1的严格递增子序列的末尾元素的最小值就是0

第2步，取nums第1个元素，值为3，它明显比f[0]=0大，所以把它放到f[1]

此时的f[1]的含义就是当前长度为2的严格递增子序列的末尾元素的最小值就是3

其实f[j]的含义永远不会变啦，只是值可能会变，后不缀述。

第3步，取nums[2]=1，它比f[0]=0大，比f[1]=3小，所以更新f[1]的值为1。

我为什么把1写在3的下面，没有把3擦掉？后面自有妙用，并且这就是patience game纸牌游戏的玩法。

注意，我们更新的位置就是大于等于1的最小值。即f=[0, 3]，找1的位置，自然就是3了。

此处直接多列举些情况：

a)f=[0, 3, 4]，找1，找到的位置索引为1（从0开始），即f[1]=3

b)f=[0, 3, 4]，找4，找到的位置索引为2，即f[2]=4

c)f=[0, 3, 4, 4]？，找4，找到的位置索引为2，即f[2]=4（最左边的4哦），但是，但是注意了！f其实不可能出现这种情况，正因为我们会在f=[0, 3, 4]找4的时候返回位置2，所以我们不会再新增一个4，只会用4更新4（你也可以认为啥也没变），所以更新完了仍然是f=[0, 3, 4]。我只是在此阐述一下严格的查找逻辑。

d)官方题解里面说先找到小于它的最大值f[j0]，然后去更新f[j0+1]，其实是一样的，正如c)中所说，f中不会有重复值。

第4步:

第5步：

第6步：

第7步：

好，结束了，f最终为[0, 1, 2, 7]，所以最长严格递增子序列的长度就是4。（我说“所以”，只是按照题解的说明说的，并不是在敷衍啊。。。，我的解释还在后面）

另外，你确实也找不到更长的严格递增子序列啦，比如0 3 6 7，0 1 2 7都是4。

你可能会问，f最终为[0, 1, 2, 7]，是不是代表[0, 1, 2, 7]就是最长严格递增子序列？那还真不一定

我立马就给你举个反例，比如nums=[0,3,1,6,7,2,2]，最终画出来还是一样的图

得到的自然是一样的f=[0, 1, 2, 7]，但是明显[0, 1, 2, 7]不是最长严格递增子序列，当然喽此时最长严格递增子序列长度仍然是4，只是这次的答案只有：[0, 3, 6, 7]

你可能会问，那是不是上图的第一行就一定是最长严格递增子序列？那仍然还真不一定

我再给你举一个反例，比如nums=[6,0,3,1,2,2,7]，第1行的6 3 2 7明显不是，不过提前透露一下，判断它是不是的办法十分简单，那就是如果它不是，它就不是【狗头】。

别急，我说“如果它不是”的意思就是，直接判断它是不是一个严格递增序列，只要它是，那它就是最长严格递增子序列。那如果它真不是，那我仍然想知道谁是，咋办呢，办法也很简单，就是从右往左，从上往下，挨个找，找到的第一个比右侧小的值，就在严格递增序列之中

最后一列那选7肯定没错，第3列2也OK，第1列3不行，往下找，1行（不是1 hang， 是1 xing哦），就它了，第0列6不行，0行，就它了，所以0 1 2 7必然是最长严格递增子序列，并且最终你会发现，这么找的算法复杂度还很低，它就是O(n)，原因很简单，上图中的所有元素就是原nums中的元素，一共就n个，顶多把每个遍历一遍。至于为什么这样找就能找出来，下面再详述。

二。进一步分析

先言归正传，为什么最长严格递增子序列的长度，就是f的最终长度呢？

继续研究一下刚才的实操过程，再贴一下，nums=[0,3,1,6,2,2,7]

比如第4步，

此时我们已经处理完的元素为0 3 1 6，这里面的最长严格递增子序列只有0 1 6或者0 3 6，注意上图6放的位置，6一定在第2列（从第0列开始算），3一定在第1列，0一定在第0列，其实还有一个1，它也一定在第1列。虽然这里只有nums的前4个元素，但只要把局部想明白了，后面所有的元素都是按照这个规则来堆的。

之前说到，怎样才能从上图的这堆数字中找出最长严格递增子序列，而不是只知道其长度呢？

为什么不能简单地根据从左往右的顺序来取？原因很简单，比如上图的1，他虽然处于第1列，6处于第2列，但这并不代表在nums中它一定在6的左边，我立马给你找个反例：

nums=[0, 3, 6, 1]，堆出来的f图跟上图一模一样，可是在nums中1明显在6的右边。所以问题就是，f图中不能直接看出所有数字在nums中的先后顺序。

如果你能知道摆放这些数字的先后顺序，那你就确切地找出所有可能的最长严格递增子序列。

即，比如我记住了，先放0，其次放3，再次放1，最后放6，那自然0 3 6， 0 1 6都是ok的，当然实际上代码中不会记住这件事。但是有一件事我们是能确定的，那就是在放6之前，第0列，第1列都有人了！否则6也跑不到第2列来，其实串起来说就是，第1列中有一个元素x，它一定在6之前就放进来了，并且它比6小，第0列中有一个元素y，它一定在x之前就放进来了，并且它比x小。

你可能有几点疑惑：

a)为啥一定会有y<x<6？

正如上面所说，虽然我记不住f图的堆放顺序，但是它一定有这么个过程啊，所以y和x是客观存在的，只是你不能一眼看出它们是谁。

你要是没明白，我再废话几句，回忆一下摆放过程，6为什么放在第2列，因为它比第1列的某个元素x大（同时如果6这一列在6之上还有元素z的话，那6自然还满足，它小于等于z），这里的x就是1（虽然3也比6小，但实际6是跟1比较的），1为什么在第1列，因为它比第0列的某个元素y大，这里的y就是0。

b)你为啥说有一个元素y，有一个元素x，跟6在同一行的0和3不就是的吗？

正如你所问，第0行的元素，摆放顺序必然是0在3之前，3在6之前。但是，第0行的元素它未必是一个递增序列，比如[6, 0, 1, 3]，其f图如下，很明显，6 1 3它不行，0 1 3它才行

等等，我问的是同一行，你说第0行？em....这个坑请见文章第四大点

c)你为啥要强调有这么一个顺序，并且y<x<6？

因为y,x,6它就是当前的最长的严格递增子序列啊！

别跟上图搞混啊，我把对应图再放一下

d)嗯，我能明白y x 6一定是一个严格递增子序列了，但我想不明白它为什么一定是最长的？

如果不能证明这一点，那我这帖子仍然是在敷衍。所以到了最关键的步骤了。

另外，我们再确认一下，你怀疑最长严格递增子序列长度>=3，起码3的下限我们是确定了！

现在让我们抛开杂念【狗头】，不要管y，x具体是什么，但是6它是具体的，因为它就是我们当前正在摆放的元素，如下图，现在的实际情况就是，我们按照摆放规则，6就是摆在了第2列（从0列开始），但是你怀疑存在某个以当前这个6结尾的严格递增子序列，它的长度大于3，也就是说存在一个z，它能插到6的前面。我们逐个分析有没有这种可能性。

(1)这个序列是y x z 6

z明显在x之后再往图上摆放，如果当时x这一列下面没东西，末端就是x，那么会因为z大于x，所以z放到第2列末端。如果x这一列下面还有东西，末端是xmin，那还是一样啊，z更是大于xmin了。

那问题是如果z放到了第2列，那再轮到放6的时候，它怎么可能仍然放在第2列？它只可能放到3列了

(2)同样的道理，y z x 6，z y x 6都是不行的，与上图矛盾。

(3)这个序列是y x 6 z

开玩笑，我们现在处理的当前元素是6，后面的还没处理到，一个个来。我们现在要确定的是因为当前元素摆在第2列（从0列开始），所以以当前元素结尾的最长严格递增子序列的长度就是3。

所以说，其实我们每往图上摆一个元素，它摆在哪一列，就说明了以这个元素结尾的最长严格递增子序列的长度，就是对应的列数（从0列开始算的话，自然要加1啦）

等我们把所有元素都摆完了，那么最大的列数，自然就是真正的最长严格递增子序列的长度了。

(4)这个序列是y x z1 z2，它是4，比y x 6长呢，并且z1，z2在nums中排在6之前

完全有可能，比如nums=[0,3,1,7,8,6]，f图如下，6仍然在第3列，但是在摆放6的时候，当前最长严格递增子序列的长度就已经是4了，而不是3.

但是注意，我们并没有说错，正如第3点中所说，是以6结尾的最长严格递增子序列长度为3.

我为什么之前说的时候没有加上“以6结尾”这个前缀，我先把之前的图放一下

因为当时的这个图，一共就3列，并且当时还没有到强调这个前缀的时候。所以重点就是第3点中的那段红字，可以再回顾一下，它就是证明的关键了！

三。上代码

注，由于原题只需要计算长度，不需要找出序列，所以代码中其实跟题解的逻辑是一样的，即只更新f值，而不是把所有数字摆成牌堆。上述的牌堆只是为了理解原理。

from typing import Listimport bisectclass Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:piles = [nums[0]]for i in range(1, len(nums)):if piles[-1] < nums[i]:piles.append(nums[i])find_index = Solution.bisect_left(piles, nums[i])# find_index = bisect.bisect_left(piles, nums[i])piles[find_index] = nums[i]return len(piles)@staticmethoddef bisect_left(a, x, l=0, h=-1):if h == -1:h = len(a)while l < h:mid = (l + h) // 2if x > a[mid]:l = mid + 1else:  # elif x <= a[mid]# 这里为什么不是h = mid - 1，因为如果找不到x，则找大于x的最小值，即右边界我们可能是需要的# 为什么把x == a[mid]的分支也合到这里面？其实只是想跟bisect.bisect_left逻辑保持一致而已，即如果存在重复的x，则返回最左边的x# 实际上本题不可能有重复的x，完全可以在找到x后立马返回，能稍微快那么一点点h = midreturn lif __name__ == '__main__':nums = [0, 3, 1, 6, 2, 2, 7]print(Solution().lengthOfLIS(nums))

四。那序列到底怎么找出来？

前面提过找的方法，再总结一下

从右往左找，第3列（从0列开始），就选第0行的7

第2列，第0行2小于7，OK，就它了

第1列，第0行3大于2，不行，第1行1小于2，OK，就它了

第0列，第0行6大于1，不行，第1行0小于1，OK，就它了（对，你可能发现了，虽然第1列取的1已经是第1行了，但是第0列仍然从第0行开始找

为什么这么找一定行呢？

我们换个例子，nums=[3,8,7,4,5,1]

很明显，3 4 5就是最长严格递增子序列，这是我们直接看nums得出的。但是在f图上，怎么才能确定4是在5之前的呢？正如我们之前所说，你既然想从f图中获取信息，那就请想象，5之前一定有一个x比5小，这是第一个已知条件。条件二是：8绝对在5之前，这是无疑的，因为它们在第0行。

可惜现在8比5大，假设紧接着8下面的那个元素z比5小，请问z是不是一定在5之前，答案是一定！

有图好分析，现在把z标出来，假设z比5小，但是z在nums中就是排在5之后，有没有可能？没可能！假设z真的排在5之后，那z下面的4也肯定排在5之后，那问题来了，5到底是因为谁而来到了第2列（从0列开始），兄弟你排错队了啊！所以如果z比5小，它绝对排在5之前。
当然喽，我们看z的时候发现它其实是7，它虽然排在5之前，但它不顶用啊，同理的逻辑继续往下找，找到的第1个小于5的元素，绝对排在5之前。

问题1：

你刚才说如果z比5小，则它一定在5之前。但你好像没说，如果z大于等于5的话，它也一定在5之前啊？

它当然还是在5之前啦，因为它下面绝对有一个比5小的new_z，就是那个4啦，4在5之前，那z还不在5之前？

问题2：

现在发现4在第2行了（从第0行开始），那处理第0列的时候，还是从第0行开始吗？

自然得从第0行开始，其实我刚留了一个坑没说明白，我说8一定在5之前，是因为它们都在第0行，注意，不是因为它们是同一行，而是第0行。0乃创世之初，从左到右遵循先创与后创，其它行则不然。所以我们只有确定第0行不行的时候，才能往下找。

具体到第0列就是，我们只有发现3大于等于4的时候，才能去找1。当然喽，3实际小于4，所以我们没证据表明1是行的。我们只有证据表明，3是行的。