奇异值分解(SVD)和图像压缩
在本文中,我将尝试解释 SVD 背后的数学及其几何意义,还有它在数据科学中的最常见的用法,图像压缩。
奇异值分解是一种常见的线性代数技术,可以将任意形状的矩阵分解成三个部分的乘积:U、S、V。原矩阵A可以表示为:
具体来说,A矩阵中的奇异值就是\Sigma矩阵中的对角线元素,它们是矩阵A的特征值的平方根,表示A矩阵在各个主方向上的拉伸程度。U矩阵是AAT的特征向量构成的正交矩阵,表示数据集在降维后的新的坐标系中的投影。V矩阵是ATA的特征向量构成的正交矩阵,表示每个数据点在降维后的新坐标系中的坐标。
一个矩阵的奇异值(singular values)是指其奇异值分解中的\Sigma矩阵的对角线上的元素,也就是特征值的平方根。换句话说,矩阵的奇异值是矩阵的奇异值分解中量度矩阵对输入矩阵进行的线性变换的尺度因子。
奇异值在很多应用中都有广泛的应用,例如在图像处理中,它可以用来对图像进行压缩和降噪;在推荐系统中,它可以用来对用户的偏好进行建模和推荐相关的产品或服务;在自然语言处理中,它可以用来对文本数据进行降维和特征提取等。
数学原理
如果我们有一个矩阵A
要计算 SVD,首先需要通过找到 AA^{T} 的特征值来计算奇异值。
上述矩阵的特征方程为:
所以得到的奇异值是:
奇异向量就是 ATA 的正交特征向量集。ATA 的特征值是 25、9 和 0,由于 ATA 是对称的,我们知道特征向量是正交的。
所以,先计算 λ=25
然后进行化简:
其方向的单位向量为:
同理 对于 λ = 9,特征向量为:
对于第三个特征向量 0,我们可以使用它垂直于 v1 和 v2 的属性:
求解上述方程得到第三个特征向量
现在,我们计算 U,得到
这样就得到了最终的 SVD 方程:
图像压缩
通过仅保留最重要的奇异值及其对应的奇异向量,SVD 被用于图像压缩以减小图像的大小。这可以从根本上减少在不丢失其最重要的视觉数据的情况下存储图像所需的额外存储量。
我们将使用下面的图像进行图像压缩:
导入库和读取图片十分简单
import requestsimport cv2import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimg = cv2.imread('flower.bmp')gray_image = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)gray_image = gray_image.astype(np.float64)
这里我们将图像转换成灰度图,执行奇异值分解
U, s, V = np.linalg.svd(gray_image, full_matrices=False)
numpy中就包含了该方法,所有我们直接调用即可,我们看看前 10 个奇异值
top_10_singular_values = s[:10]
可视化
plt.plot(range(1, len(s) + 1), s, 'r-')plt.xlabel("Rankings")plt.ylabel("Singular Values")plt.title("Singular Values versus their Rankings")plt.savefig("Singular_values_vs_rankings.png")plt.show()
从奇异值和排序图中可以注意到图像的大部分值都包含在少量奇异值中,所以可以得出到较高的奇异值包含的图像信息水平非常低,这也说明使用奇异值分解进行降维和图像压缩是可行的。
现在,让我们尝试重建和显示图像。
k_values = [10, 50, 100]plt.figure(figsize=(12,6))for i in range(len(k_values)):low_rank = U[:, :k_values[i]] @ np.diag(s[:k_values[i]]) @ V[:k_values[i], :]plt.subplot(2,3,i+1),plt.imshow(low_rank, cmap='gray'),plt.title(f"For K value = {k_values[i]}")plt.savefig("Reconstruction_with_k_values.png")
可以注意到具有不同 K 值的所有图像都有显着差异。使用了前 10 个奇异值,结果图像一点也不清晰。使用了前 50 个奇异值,生成的图像比之前的图像清晰多了,但是还有一些轻微的模糊。当我们使用前 100 个奇异值时,图像比前两张图像越来越清晰,基本和原图很接近了。随着 K 值的增加,图像的清晰度也会增加。
总结
本文介绍了奇异值分解 (SVD) 的数学原理和一个实际的应用案例,可以看到SVD是一种强大的图像压缩方法,有助于在减小图像尺寸的同时保留大部分重要的视觉信息。
https://avoid.overfit.cn/post/f0a675aad6994b61a2aa93fb647a0633
作者:Neokai
相关文章:

奇异值分解(SVD)和图像压缩
在本文中,我将尝试解释 SVD 背后的数学及其几何意义,还有它在数据科学中的最常见的用法,图像压缩。 奇异值分解是一种常见的线性代数技术,可以将任意形状的矩阵分解成三个部分的乘积:U、S、V。原矩阵A可以表示为&#…...
Java如何从yml文件获取对象
目录一、背景二、application.yml三、ChinaPersonFactory.java四、使用示例一、背景 在 SpringBoot 中,我们可以使用 Value 注解从属性文件(例如 application.yml 或 application.properties)中获取配置信息,但是只能获取简单的字…...

vue使用tinymce实现富文本编辑器
安装两个插件tinymce和 tinymce/tinymce-vue npm install tinymce5.10.3 tinymce/tinymce-vue5.0.0 -S 注意: tinymce/tinymce-vue 是对tinymce进行vue的包装,主要作用当作vue组件使用-S保存到package.json文件 2. 把node_modules/tinymce下的目录&a…...
yolov4实战训练数据
1、克隆项目文件 项目Github地址:https://github.com/AlexeyAB/darknet 打开终端,克隆项目 git clone https://github.com/AlexeyAB/darknet.git无法克隆的话,把https修改为git git clone git://github.com/AlexeyAB/darknet.git修改Makef…...

第十四章 DOM的Diff算法与key
React使用Diff算法来比较虚拟DOM树和真实DOM树之间的差异,并仅更新必要的部分,以提高性能。key的作用是在Diff算法中帮助React确定哪些节点已更改,哪些节点已添加或删除。 我们以案例来说明。 使用索引值和唯一ID作为key的效果 1、使用索引…...
MySQL调优
MySQL调优常见的回答如何回答效果更好业务层的优化如果只能用mysql该如何优化代码层的优化SQL层面优化总结常见的回答 SQL层面的优化——创建索引,创建联合索引,减少回表。再有就是少使用函数查询。 回表指的是数据库根据索引(非主键&#…...

《Flutter进阶》flutter升级空安全遇到的一些问题及解决思路
空安全出来挺久了,由于业务需求较紧,一直没时间去升级空安全,最近花了几天去升级,发现其实升级也挺简单的,不要恐惧,没有想象中的多BUG。 flutter版本从1.22.4升到3.0.5; compileSdkVersion从1…...

最值得入手的五款骨传导耳机,几款高畅销的骨传导耳机
骨传导耳机是一种声音传导方式,主要通过颅骨、骨骼把声波传递到内耳,属于非入耳式的佩戴方式。相比传统入耳式耳机,骨传导耳机不会堵塞耳道,使用时可以开放双耳,不影响与他人的正常交流。骨传导耳机不会对耳朵产生任何…...

HashMap源码分析 (1.基础入门) 学习笔记
本章为 《HashMap全B站最细致源码分析课程》 拉钩教育HashMap 学习笔记 文章目录1. HashMap的数据结构1. 数组2. 链表3. 哈希表3.1 Hash1. HashMap的数据结构 数据结构中有数组和链表来实现对数据的存储,但这两者基本上是两个极端。 1. 数组 在生成数组的时候数…...
6 使用强制类型转换的注意事项
概述 在C语言中,强制类型转换是通过直接转换为特定类型的方式来实现的,类似于下面的代码。 float fNumber = 66.66f; // C语言的强制类型转换 int nData = (int)fNumber; 这种方式可以在任意两个类型间进行转换,太过随意和武断,很容易带来一些难以发现的隐患和问题。C++为…...

Leetcode.939 最小面积矩形
题目链接 Leetcode.939 最小面积矩形 Rating : 1752 题目描述 给定在 xy平面上的一组点,确定由这些点组成的矩形的最小面积,其中矩形的边平行于 x 轴和 y 轴。 如果没有任何矩形,就返回 0。 示例 1: 输入࿱…...

Springboot项目快速实现过滤器功能
前言很多时候,当你以为掌握了事实真相的时间,如果你能再深入一点,你可能会发现另外一些真相。比如面向切面编程的最佳编程实践是AOP,AOP的主要作用就是可以定义切入点,并在切入点纵向织入一些额外的统一操作࿰…...

基于springboot的简历系统的实现
摘 要 随着科学技术的飞速发展,社会的方方面面、各行各业都在努力与现代的先进技术接轨,通过科技手段来提高自身的优势,简历系统当然也不能排除在外。简历系统是以实际运用为开发背景,运用软件工程原理和开发方法,采用…...
Vue3中watch的用法
watch函数用于侦听某个值的变化,当该值发生改变后,触发对应的处理逻辑。 一、watch的基本实例 <template><div><div>{{ count }}</div><button click"changCount">更改count的值</button></div> …...

MS python学习(18)
学习Pandas.DataFrame(2) load csv(comma seperated variable) files to DataFrame and vice versa upload csv files read/write csv files load data into jupyter notebook, create a new folder and then upload the csv files into it. (CSV comma seperated variable)…...
java笔记
前言 以下是一名java初学者在自学过程中所整理的笔记,欢迎大家浏览并留言,若有错误的地方请大家指正。 java语言特性 简单性:相对于其他编程语言而言,java较为简单,例如:java不再支持多继承,C…...
对象的构造及初始化
目录 一、如何初始化对象 二、构造方法 1.概念 2.特性 三、默认初始化 四、就地初始化 总结 一、如何初始化对象 在Java方法内部定义一个局部变量的时候,我们知道必须要进行初始化。 public class Test4 {public static void main(String[] args) {//未初始化…...
Socket 读取数据
1. Socket 配置参数中添加 1.1 读取 Socket 字节时的字节序 1.2 读取数据时,单次读取最大缓存值 1.3 从 Socket 读取数据时,遵从的数据包结构协议 1.4 服务器返回数据的最大值,防止客户端内存溢出 /*** Description: Socket 配置参数*/public…...

小白的Git入门教程(一)
这是本人的git的入门过程仅供参考 先是在官网下载git版本下载链接,安装步骤可以搜索其他大神的文章然后就是创建一个属于你的git本地库首先是创建一个文件夹作为根目录,这里我创建了一个叫test_git文件夹紧接着便进去新建文件夹,点击这里的g…...

第一个Vue程序
第一个Vue程序 <body> <!--view层 变成了一个模板--> <div id"app">{{message}} </div><!--导入vue.js--> <script src"https://cdn.jsdelivr.net/npm/vue2.5.16/dist/vue.min.js"></script> <script>va…...

突破不可导策略的训练难题:零阶优化与强化学习的深度嵌合
强化学习(Reinforcement Learning, RL)是工业领域智能控制的重要方法。它的基本原理是将最优控制问题建模为马尔可夫决策过程,然后使用强化学习的Actor-Critic机制(中文译作“知行互动”机制),逐步迭代求解…...
Golang 面试经典题:map 的 key 可以是什么类型?哪些不可以?
Golang 面试经典题:map 的 key 可以是什么类型?哪些不可以? 在 Golang 的面试中,map 类型的使用是一个常见的考点,其中对 key 类型的合法性 是一道常被提及的基础却很容易被忽视的问题。本文将带你深入理解 Golang 中…...

智慧工地云平台源码,基于微服务架构+Java+Spring Cloud +UniApp +MySql
智慧工地管理云平台系统,智慧工地全套源码,java版智慧工地源码,支持PC端、大屏端、移动端。 智慧工地聚焦建筑行业的市场需求,提供“平台网络终端”的整体解决方案,提供劳务管理、视频管理、智能监测、绿色施工、安全管…...
数据链路层的主要功能是什么
数据链路层(OSI模型第2层)的核心功能是在相邻网络节点(如交换机、主机)间提供可靠的数据帧传输服务,主要职责包括: 🔑 核心功能详解: 帧封装与解封装 封装: 将网络层下发…...
Web 架构之 CDN 加速原理与落地实践
文章目录 一、思维导图二、正文内容(一)CDN 基础概念1. 定义2. 组成部分 (二)CDN 加速原理1. 请求路由2. 内容缓存3. 内容更新 (三)CDN 落地实践1. 选择 CDN 服务商2. 配置 CDN3. 集成到 Web 架构 …...

ABAP设计模式之---“简单设计原则(Simple Design)”
“Simple Design”(简单设计)是软件开发中的一个重要理念,倡导以最简单的方式实现软件功能,以确保代码清晰易懂、易维护,并在项目需求变化时能够快速适应。 其核心目标是避免复杂和过度设计,遵循“让事情保…...

【Redis】笔记|第8节|大厂高并发缓存架构实战与优化
缓存架构 代码结构 代码详情 功能点: 多级缓存,先查本地缓存,再查Redis,最后才查数据库热点数据重建逻辑使用分布式锁,二次查询更新缓存采用读写锁提升性能采用Redis的发布订阅机制通知所有实例更新本地缓存适用读多…...
jmeter聚合报告中参数详解
sample、average、min、max、90%line、95%line,99%line、Error错误率、吞吐量Thoughput、KB/sec每秒传输的数据量 sample(样本数) 表示测试中发送的请求数量,即测试执行了多少次请求。 单位,以个或者次数表示。 示例:…...

热烈祝贺埃文科技正式加入可信数据空间发展联盟
2025年4月29日,在福州举办的第八届数字中国建设峰会“可信数据空间分论坛”上,可信数据空间发展联盟正式宣告成立。国家数据局党组书记、局长刘烈宏出席并致辞,强调该联盟是推进全国一体化数据市场建设的关键抓手。 郑州埃文科技有限公司&am…...
ubuntu22.04 安装docker 和docker-compose
首先你要确保没有docker环境或者使用命令删掉docker sudo apt-get remove docker docker-engine docker.io containerd runc安装docker 更新软件环境 sudo apt update sudo apt upgrade下载docker依赖和GPG 密钥 # 依赖 apt-get install ca-certificates curl gnupg lsb-rel…...