《计算机原理与系统结构》学习系列——计算机的算数运算（下）

系列文章目录

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目录

• 浮点数的表示和运算
• 浮点数的表示
• 浮点数的规格化
• 浮点数标准
• IEEE754
• 浮点数表示范围
• 浮点数的转换
• 浮点数的运算
• 浮点数加法
• 浮点数加法的硬件实现
•  精度
• 浮点乘法
• 浮点运算硬件 
• MIPS中的浮点指令

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浮点数的表示和运算

浮点数的表示

• 表达非整型的数
  • 可以表达很小和很大的数
• 和科学计数法类似
  • -2.34e56
  • +0.002e-4
  • +987.02*e9
• 二进制表示
  • ±1.×××××× * 2的n次方
• C语言中float和double

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浮点数的规格化

为了表示非整数实数，现在的计算机广泛采用小数点浮动的浮点数，以-0.75为例子，首先转化为二进制实数，然后将二进制实数表示为以2为基数的科学计数法，这个过程称为规格化

这时候得到三个重要信息：1.实数的正负  2.小数点右边的尾数  3. 2的指数

浮点数标准

• IEEE754 -1985标准
  • 消除表达的不一致性
  • 科学计算中的可移植性
• 现在被普遍则采用的2种标准
  • 单精度（32-bit）
  • 双精度（64-bit）
  • IEEE

IEEE754

IEEE754规定，单精度浮点数大小为32位，其中最高1位是符号位（sign），随后8位是指数域（exponent），剩下全部表示尾数（fraction）

一般浮点数表达形式： 

F 为小数域的值， E 为指数域的值
 

浮点数表示范围

8位指数可以表示0~255共256个自然数，但是只有1~254表示真正的浮点数，为了方便比较大小，浮点数的指数域采用一种类似于移码的表示方法， 即1（0000 0001）~254（1111 1110）分别对应-126~+127，也就是说，算出真正阶数指数后，还要加上127的偏阶

故浮点数表达形式也可写成

浮点数的转换

• 简单情况：如果除数是2的整数倍，则比较简单

• 除数不是2的整数倍
  • 该数无法精确表示
  • 可能需要多位有效位来保证精度
  • 难点是如何得到有效位
• 循环小数有个循环体
• 转换
  • 求出足够多的有效位
  • 根据精度要求（单、双） 截断多余位
  • 按照标准要求给出符号位、阶和有效位

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浮点数的运算

浮点数加法

运算步骤

1. 先转化为二进制科学计数法
2. 小对大，指数较小的数转化为指数较大的数的形式
3. 再相加，列竖式相加
4. 规格化，将和重新规格化
5. 舍入查，四舍五入，检查是否发生指数溢出

对单精度，指数高于+127为上溢，低于-126为下溢

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浮点数加法的硬件实现

• 比整数复杂很多
• 如果在一个时钟周期内完成，就会要求时钟周期非常的长
  • 比整数运算更费时
  • 较慢的时钟会对所有指令产生影响
• 浮点加法器通常需要花费几个时钟周期
  • 可以被流水化

 

 

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 精度

IEEE定义了多种舍入控制策略

• 多存储几个位（舍入、保护、粘贴）
  • 保护位：在浮点数中间计算中，在右边多保留的两位以上的首位，用于提高传入精度
  • 舍入位：在右边多保留的两位中的第二位，使浮点中间结果满足浮点格式，得到最接近的数
  • 粘贴：末位始终为1，或末位为0舍1入
• 可以选择不同的舍入模式
• 允许程序员微调计算中的行为
• 不是所有的硬件都实现了IEEE754的舍入策略
  • 大部分语言和类库只是使用了缺省的策略
• 是硬件复杂度、效率和市场需求的折衷

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浮点乘法

运算步骤

1. 指数加：被乘数和乘数的指数相加（是真正指数，而不是加了偏阶的指数）
2. 再相乘：列竖式相乘
3. 规格化：将积重新规格化
4. 舍入查：四舍五入，检查是否发生指数溢出
5. 定符号：如果被除数和乘数反号，则符号位为1

 

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浮点运算硬件 

• 浮点乘法和加法的硬件复杂度类似
  • 有效位上进行乘法而不是加法
• ​​​​浮点运算通常需要的操作是
  • 加法, 减法, 乘法, 除法, 求倒数, 平方根
  • 浮点数和整数间的转换
• 通常需要多个时钟周期
  • 很容易用流水实现 

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MIPS中的浮点指令

• 浮点数使用协处理器
  • 通过ISA相连的协处理器
• 独立的浮点寄存器
  • 32个单精度: $f0, $f1, … $f31
  • 配对为双精度: $f0/$f1, $f2/$f3, …
    • Release 2 of MIPs ISA supports 32 × 64-bit FP reg’s
• 浮点指令只操作浮点寄存器
  • ​​​​​​​程序通常不会在浮点寄存器上进行整数操作，或在整数寄存器上进行浮点操作
  • 因此可以提供更多的寄存器，而不影响指令的长度
• 浮点数读取、存储指令
  • ​​​​​​​​​​​​​​lwc1, ldc1, swc1, sdc1​​​​​​​
  • e.g. ldc1 $f8, 32($sp)
• 单精度
  • ​​​​​​​​​​​​​​add.s, sub.s, mul.s, div.s
  • e.g. add.s $f0, $f1, $f6
• ​​​​​​​双精度
  • add.d, sub.d, mul.d, div.d
  • e.g. mul.d $f4, $f4, $f6
• 比较
  • ​​​​​​​c.xx.s, c.xx.d (xx is eq, lt, le, …)
  • Sets or clears FP condition-code bit
    • e.g. c.lt.s $f3, $f4
• 分支
  • bclt, bclf
  • e.g. bc1t TargetLabel

示例

float f2c (float fahr) {
  return ((5.0/9.0)*(fahr - 32.0));
}

一个注意点

我们常用sll实现乘二的幂，但是用srl实现除二的幂会出现问题，对于无符号数是相同的，但是对于有符号，算数右移需要补入符号位才相同，如果补零则不同