【堆排】为何使用向下调整法建堆比向上调整法建堆更好呢？

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前言

在博主的上一篇博客堆排(链接在这里点击即可)的总结中提出啦使用向下调整法建堆比使用向上调整法建堆更好，是因为使用向上调整法建堆的时间复杂度为O(n*logn)，使用向下调整法建堆的时间复杂度为O(n)。接下来博主就教大家如何计算它们的时间复杂度。

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一、堆排代码

void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
//向上调整法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//不需要等于，child只要走到根节点的位置，根节点没有父节点不需要交换{if (arr[child] < arr[parent])//若孩子结点比父结点小则交换{Swap(&arr[parent], &arr[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
//向下调整法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//左孩子while (child < n){//找左右孩子中找最小的if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}
//堆排
void HeapSort(int* arr, int n)
{//向上调整法建堆for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(arr, i);}//向下调整算法建堆//for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)//{//	AdjustDown(arr, i , n);//}//循环将堆顶数据跟最后位置的数据进行交换int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&arr[0], &arr[end]);AdjustDown(arr, 0, end);end--;}
}

一、计算使用向上调整法建堆的时间复杂度

for (int i = 0; i < n; i++)
{AdjustUp(arr, i);
}

• 第1层，2⁰个结点，最多需要向上移动0次。
• 第2层，2¹个结点，最多需要向下移动1次。
• 第3层，2²个结点，最多需要向上移动2次。
• …
• 第h-1层，2^h-2个结点，最多需要向上移动h-2次。
• 第h层，2^h-1个结点，最多需要向上移动h-1次。
  所以最多移动的次数总和为：
  (1) T(h) = 2⁰(0)+2¹(1)+2²(2)+…+2^h-2(h-2)+2^h-1(h-1)
  (2) 2T(h) = 2¹(0)+2²(1)+2³(2)+…+2^h-1(h-2)+2^h(h-1)
  (2)-(1) 得
  T(h) = -(2¹+2²+2³+…+2^h-2+2^h-1+2^h-1)+2^hh
  使用高中阶段学过的等比数列求和公式：S = a1(1-qⁿ)/1-q可得
  T(h) = 2(1-2^h)+2^hh = 2+2^h(h-2)
  再根据二叉树的性质：n = 2^h-1，h = log₂(n+1)可得
  T(n) = 2 + (n+1)(log₂(n+1)-2) = (n+1)log₂(n+1)-2n
  所以向上调整法建堆的时间复杂度为O(logn*n)

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二、计算使用向下调整法插入的时间复杂度

for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
{AdjustDown(arr, i , n);
}

• 第1层，2⁰个结点，最多需要向下移动h-1次。
• 第2层，2¹个结点，最多需要向下移动h-2次。
• 第3层，2²个结点，最多需要向下移动h-3次。
• …
• 第h-1层，2^h-2个结点，最多需要向下移动1次。
• 第h层，2^h-1个结点，最多需要向下移动0次。

所以最多移动的次数总和为：
(1) T(h) = 2⁰(h-1)+2¹(h-2)+2²(h-3)+…+2^h-2(1)
(2) 2T(h) = 2¹(h-1)+2²(h-2)+2³(h-3)+…+2^h-1(1)
(2)-(1) 得
T(h) = 2¹+2²+2³+…+2^h-2+2^h-1-2⁰(h-1)
T(h) =2⁰+ 2¹+2²+2³+…+2^h-2+2^h-1-h
使用高中阶段学过的等比数列求和公式：S = a1(1-qⁿ)/1-q可得
T(h) = 2^h-1-h
再根据满二叉树的性质：n = 2^h-1，h = log₂(n+1)可得
T(n) = n-log₂(n+1)*
所以向下调整法建堆的时间复杂度为O(n)

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总结

通过这篇博客相信柚柚们已经清楚向下调整法建堆和向上调整法建堆的时间复杂度怎么计算啦，后期博主还会更新有关数据结构的博客，感兴趣的柚柚们可以关注博主喔~