CSP-J/S 复赛算法 背包DP

---

前言

背包问题是算法竞赛中的经典题型之一，特别是在CSP-J/S（中国信息学奥林匹克竞赛）复赛中，动态规划（DP）解决背包问题是一个常见且基础的重要内容。背包DP问题通过构建状态转移方程，利用「无后效性」这一特性，可以高效地解决一系列组合优化问题。本文将简要介绍如何在背包问题中运用动态规划思想，通过对状态的设计与转移公式的推导，最终求解出最优解。这种方法不仅是算法竞赛中的常见考点，也是在实际应用中有广泛运用的技巧。

---

背包DP的简介

背包问题（Knapsack Problem）是动态规划（DP）中的经典问题之一，它描述了一个选择物品的最优化问题。背包问题有很多变种，其中最常见的是0-1背包问题。我们以这个为例介绍一下。

问题描述

假设你有一个容量为 (C) 的背包，以及 (n) 件物品。每件物品都有两个属性：

1. 重量 (w_i)：物品的重量。
2. 价值 (v_i)：物品的价值。

你需要从这 (n) 件物品中选择若干件装入背包，但不能超过背包的容量 (C)。同时，你希望背包中的物品总价值最大化。每件物品只能被选一次（即「0-1」背包的「0-1」指的是每个物品只能取或者不取，不能分割）。

目标

最大化装入背包的物品的总价值，条件是物品的总重量不超过背包容量。

解决方法

动态规划（DP）可以很好地解决这个问题。我们一步步设计DP的步骤：

1. 定义状态

用 (dp[i][j]) 表示前 (i) 件物品在容量为 (j) 的背包里能够获得的最大价值。

• 例如，(dp[3][5]) 表示用前三件物品在容量为5的背包里能获得的最大价值。

2. 状态转移方程

对第 (i) 件物品，我们有两种选择：

• 不选择这件物品：那么最大价值就是前 (i-1) 件物品在容量 (j) 下的最大价值，表达式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j]$$
• 选择这件物品：如果当前物品 (i) 的重量 (w_i \leq j)，那么我们可以选择它，最大价值就是当前物品价值 (v_i) 加上剩下的背包容量 (j - w_i) 时前 (i-1) 件物品的最大价值，表达式为：
  $$dp[i][j]=dp[i-1][j-w_i]+v_i$$

因此，综合这两种情况，状态转移方程为：
$$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)$$

3. 初始化

对于初始状态，若不选任何物品或背包容量为 0，那么最大价值都是 0，因此：
$$dp[0][j]=0\text{(对于所有的 j)}$$
$$dp[i][0]=0\text{(对于所有的 i)}$$

4. 目标

最终，我们要的解就是 (dp[n][C])，即前 (n) 件物品在背包容量为 (C) 的情况下可以获得的最大价值。

举个例子

假设有 4 件物品，它们的重量和价值如下：

• 物品 1：重量 2，价值 3
• 物品 2：重量 3，价值 4
• 物品 3：重量 4，价值 5
• 物品 4：重量 5，价值 8

背包容量为 8。求解能够装入背包的最大价值是多少？

通过 DP 表的推算，最终可以得出最大价值为 11（选择物品 2 和物品 4，总重量为 3 + 5 = 8，总价值为 4 + 8 = 11）。

动态规划解决背包问题的核心

• 无后效性：当前的状态（选择第几件物品，剩余容量多少）只与之前的状态相关，而不受未来的决策影响。
• 子问题重叠：每一个子问题的解会被多次使用，因此通过 DP 的方式，可以避免重复计算，提高效率。

这种方法非常适合解决背包问题及其他类似的最优化问题。

DP背包问题示例代码

以下是一个用动态规划（DP）解决 0-1背包问题 的 C 语言代码示例，并附上核心代码的讲解。

问题描述

我们有 n 个物品，每个物品有重量 w[i] 和价值 v[i]。背包的容量为 C，我们需要选择物品，使得在不超过背包容量的情况下，物品的总价值最大化。

代码实现

#include <stdio.h>#define MAX_N 100  // 物品最大数量
#define MAX_W 1000 // 背包最大容量int dp[MAX_N + 1][MAX_W + 1]; // DP表，保存最大价值int max(int a, int b) {return (a > b) ? a : b;
}int knapsack(int n, int W, int w[], int v[]) {// 初始化DP表，0件物品或容量为0时价值都为0for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= W; j++) {dp[i][j] = 0;}}// 动态规划，计算最大价值for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= W; j++) {if (w[i-1] <= j) {// 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1]);} else {// 如果当前物品重量大于容量，不能选该物品dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}// 返回最大价值return dp[n][W];
}int main() {int n = 4; // 物品数量int W = 8; // 背包容量int w[] = {2, 3, 4, 5}; // 每个物品的重量int v[] = {3, 4, 5, 8}; // 每个物品的价值// 调用背包算法int max_value = knapsack(n, W, w, v);printf("最大价值: %d\n", max_value);return 0;
}

核心代码讲解：

1. dp数组的定义：

   int dp[MAX_N + 1][MAX_W + 1];
   

   这里的 dp[i][j] 表示前 i 件物品在背包容量为 j 的时候可以获得的最大价值。dp 的维度是 (n+1) x (W+1)，其中 n 是物品数量，W 是背包容量。

2. 初始化DP表：

   for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= W; j++) {dp[i][j] = 0;}
   }
   

   初始状态是没有物品（即 i = 0）或者背包容量为 0 时（即 j = 0），那么背包中的最大价值显然是 0。这个初始化确保了后续状态转移时有合理的初始值。

3. 状态转移方程：

   dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1]);
   

   这是动态规划的核心部分，对于每个物品，我们有两种选择：

   • 不选第 i 件物品：此时最大价值和之前一样，即 dp[i-1][j]。
   • 选第 i 件物品：此时需要确保物品重量小于等于背包容量（即 w[i-1] <= j），那么最大价值就是当前物品的价值 v[i-1] 加上背包剩余容量 j - w[i-1] 的最大价值 dp[i-1][j - w[i-1]]。

4. 返回结果：

   return dp[n][W];
   

   最终我们需要的答案是 dp[n][W]，即前 n 件物品在背包容量为 W 时能够获得的最大价值。

举例：

对于输入：

• 物品数量：4
• 背包容量：8
• 物品重量：{2, 3, 4, 5}
• 物品价值：{3, 4, 5, 8}

程序输出：

最大价值: 11

这个结果对应于选择了物品 2 和物品 4，总重量为 3 + 5 = 8，总价值为 4 + 8 = 11。

总结：

这个代码通过动态规划解决 0-1 背包问题的核心在于状态转移方程，它通过子问题的解来推导出全局问题的最优解。每个子问题的解被存储在 dp 数组中，从而避免重复计算，极大地提高了效率。

---

总结

背包DP算法通过构建一个DP表格，依次推算每个子问题的最优解，最终得出整个问题的最优解。核心在于合理设计状态和状态转移方程，使得每一步的选择都依赖于之前的子问题结果。在CSP-J/S复赛中，背包问题的灵活变化考验选手对动态规划思想的掌握，理解其原理后能够有效提升问题解决的效率。熟练掌握背包问题的动态规划方法，不仅能够应对竞赛中的挑战，更能为更复杂的优化问题打下坚实基础。