算法-汉诺塔问题（Hanoi tower）

介绍

汉诺塔是源于印度的一个古老传说的小游戏，简单来说就是有三根柱子，开始的时候，第一根柱子上圆盘由大到小，自下往上排列。这个小游戏要实现的目的呢，就是要把第一根柱子上的圆盘移到第三根的柱子上去；条件呢，就是在移动过程当中不能将大的圆盘放在小的圆盘上面，我们可以利用中间第二根柱子作为桥梁来承接我们要移动的圆盘。

而在这个传说当中，一共有64块圆盘，假设我们使用递归的方法，我们也得用18446744073709551615的步数来实现我们的目的，换算成时间呢，我们得花5845.42亿年来实现这个过程。

算法思路

实现这个小游戏的算法思路是什么呢？

我们一定要将最大的那块圆盘放到C柱那里去，那么我们的目的就很明确，我们倒着思考一下，最后那几步的时候，我们是要将上面的n-1块圆盘移动到中间的柱子上，最后再将n-1块圆盘放到C柱上的。

假设我们这里有三块圆盘，我们先将A盘上的两块小圆盘移到B盘上去

再将A柱上最大的圆盘移动到C柱上

再将B柱上的圆盘放回C住上，最后大功告成

那在这一步的前一步呢，那不就是n-2块了吗，对于前面的步骤，都是和最后的类似，那最后一步我们走了几步呢？假设我们有一个表达式能描述移动的步数，那么

为什么会有这个表达式呢，我们先移动了n-1块盘到B柱，再将n-1块盘到C柱，这里我们就可以得到，我们还将最下面的那个盘子放到了C盘这里，所以我们在这里得加一。

最后我们可以得到步数的结果为

其它方法

美国学者曾提出过一种更为简洁的方法：首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：

• 若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 A B C
• 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 A C B

步骤

1. 按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子A，则把它移动到B；若圆盘1在柱子B，则把它移动到C；若圆盘1在柱子C，则把它移动到A。 

2. 接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。

3. 反复进行⑴⑵操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。

 代码实现

python

def f(n):if n==0:return 0else:return 2*f(n-1)+1
x=int(input("请输入片的个数："))
print("需要移动",f(x),"次")

def hanoi(n, a, b, c):if n == 1:print(a, '-->', c)else:hanoi(n - 1, a, c, b)print(a, '-->', c)hanoi(n - 1, b, a, c)
# 调用
hanoi(5, 'A', 'B', 'C')

cpp

#include <iostream> using namespace std; void hanoi(int n, char source, char help, char target){static int step = 0; if (n == 1)std::cout << (++step) << ": " << source << "---->" << target << endl; else{// move n-1 disks from source to help hanoi(n-1, source, target, help); std::cout <<(++step) << ": " << source << "---->" << target << endl; hanoi(n-1, help, source, target);}
}
int main(void){hanoi(10, 'a', 'b', 'c');return 0; 
}

C

#include <stdio.h>
#include <windows.h>
void Hanoi(int n, char a,char b,char c);
void Move(int n, char a, char b);
int count;
int main()
{int n=8;printf("汉诺塔的层数:\n");scanf(" %d",&n);Hanoi(n, 'A', 'B', 'C');Sleep(20000);return 0;
}
void Hanoi(int n, char a, char b, char c)
{if (n == 1){Move(n, a, c);}else{Hanoi(n - 1, a, c, b);Move(n, a, c);Hanoi(n - 1, b, a, c);}
}
void Move(int n, char a, char b)
{count++;printf("第%d次移动 Move %d: Move from %c to %c !\n",count,n,a,b);
}