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[笔记] 仿射变换性质的代数证明

news 文章来源：https://blog.csdn.net/woyaomaishu2/article/details/142771571 2025/5/24 10:41:34

Title: [笔记] 仿射变换性质的代数证明

文章目录

I. 仿射变换的代数表示
II. 仿射变换的性质
III. 同素性的代数证明
- 1. 点变换为点
- 2. 直线变换为直线
IV. 结合性的代数证明
- 1. 直线上一点映射为直线上一点
- 2. 直线外一点映射为直线外一点
V. 保持单比的代数证明
VI. 平行性的代数证明
参考文献

I. 仿射变换的代数表示

平面上点 $P (x, y)$ 经过仿射变换 $T$ 变为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ , 则两点坐标 $(x, y)$ 和 $(x^{'}, y^{'})$ 之间的关系即为仿射变换的代数表示. 需注意仿射坐标系不一定是直角坐标系.

平面上的仿射变换在仿射坐标系下的代数表示为
$\left\{ \begin{aligned} x' = a_{11} x + a_{12} y + a_{13}\\ y' = a_{21} x + a_{22} y + a_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-1}$
其中
$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-2}$
也就是仿射变换是可逆变换, 其逆变换可以写成
$\left\{ \begin{aligned} x = a'_{11} x' + a'_{12} y' + a'_{13}\\ y = a'_{21} x' + a'_{22} y' + a'_{23} \end{aligned} \right. \tag{I-3}$
其中
$\Delta' = \left|\begin{matrix}a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{matrix}\right| \neq 0 \tag{I-4}$
可知
$\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{I-5}$
及
$\begin{bmatrix}a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{I-6}$

II. 仿射变换的性质

- 保持同素性 (点变换为点, 直线变换为直线)

- 保持结合性 (点和直线的结合关系)

- 保持共线三点的单比不变

- 保持直线的平行性

III. 同素性的代数证明

1. 点变换为点

定义式 (I-1) 即是证明.

2. 直线变换为直线

假设有一直线方程为
$\tag{III-2-1}$
其中 $a^2 + b^2 \neq 0$ .

在仿射变换下有式 (I-3), 代入式 (III-2-1) 得到
$\begin{aligned} a(a'_{11} x' + a'_{12} y' + a'_{13}) + b(a'_{21} x' + a'_{22} y' + a'_{23}) + c =0\\ \Rightarrow \quad (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c) = 0 \end{aligned} \tag{III-2-2}$
另外, 由仿射变换的可逆性质式 (I-3) 可知
$\left|\begin{matrix} a'_{11} &a'_{21} \\ a'_{12} &a'_{22} \end{matrix} \right| \neq 0 \tag{III-2-3}$
则使得下式
$\begin{bmatrix}a a'_{11}+ b a'_{21} \\ aa'_{12} + b a'_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a'_{11} &a'_{21} \\ a'_{12} &a'_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix} \tag{III-2-4}$
成立的解仅为 $(a, b) = (0, 0)$ , 但与条件矛盾. 故 $a a'_{11}+ b a'_{21})$ 与 $aa'_{12} + b a'_{22})$ 不能同时为零.

即式 (III-2-2) 中变量 $x^{'}$ 和 $y^{'}$ 前的系数满足
$a'_{11}+ b a'_{21})^2 + (aa'_{12} + b a'_{22})^2 \neq 0 \tag{III-2-5}$
即式 (III-2-2) 必然为直线方程. 所以直线方程经过仿射变换后仍然为直线方程, 直线经过仿射变换后仍为直线.

IV. 结合性的代数证明

1. 直线上一点映射为直线上一点

已知一点 $x_1, y_1)$ 在直线 $a x + b y + c = 0$ 上 $\Longleftrightarrow$ 满足 $ax_1 +by_1 +c =0$ .

下面证明仿射变换后的新点在仿射变换后的新直线上.

点 $x_1, y_1)$ 经过仿射变换后得到新点 $x'_1, y'_1)$
$\left\{ \begin{aligned} x'_1 = a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13}\\ y'_1 = a_{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-1}$
由同素性式 (III-2-2), 直线 $a x + b y + c = 0$ 经过仿射变换后得到新的直线方程
$a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c) = 0 \tag{IV-1-2}$
将仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 代入上式的左侧得到
$\begin{aligned} \text{LHS}\ =\ &(a a'_{11}+ b a'_{21})\underline{(a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})} + (aa'_{12} + b a'_{22}) \underline{(a_{21} x_1 + a_{22} y_1 + a_{23})} + (a a'_{13} + b a'_{23} +c)\\ =\ & (a a'_{11}+ b a'_{21})a_{11} x_1 + (aa'_{12} + b a'_{22}) a_{21} x_1 \\ {+} & (a a'_{11}+ b a'_{21}) a_{12} y_1 +(aa'_{12} + b a'_{22}) a_{22} y_1 \\ {+}& (a a'_{11}+ b a'_{21}) a_{13} + (aa'_{12} + b a'_{22}) a_{23} + (a a'_{13} + b a'_{23} +c)\\ =\ & (a a'_{11}a_{11}+ aa'_{12} a_{21} + b a'_{21}a_{11} + b a'_{22} a_{21}) x_1 \\ {+}& (a a'_{11}a_{12}+ a a'_{12} a_{22} + b a'_{21} a_{12} + b a'_{22} a_{22}) y_1\\ {+}& (a a'_{11} a_{13}+ aa'_{12} a_{23} + a a'_{13} + b a'_{21} a_{13} + b a'_{22} a_{23} + b a'_{23}) \\ +& c\\ =\ & \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21}\end{bmatrix} x_1 \\ {+}& \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} y_1 \\ {+}& \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \left\{\begin{bmatrix} a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{13} \\ a_{23}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} a'_{13} \\ a'_{23}\end{bmatrix}\right\} \\ {+}& c \end{aligned} \tag{IV-1-3}$
由式 (I-6) 可知
$\begin{bmatrix}a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-4}$
和
$\begin{bmatrix}a'_{11} &a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} \tag{IV-1-5}$
由仿射变换式 (I-1) 可知原点 $(0, 0)$ 的像为 $a_{13}, a_{23})$ , 即
$\left\{ \begin{aligned} x'_{o} = a_{11} 0 + a_{12} 0 + a_{13} = a_{13}\\ y'_{o} = a_{21} 0 + a_{22} 0 + a_{23} = a_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-6}$
相反地, 原点的像 $a_{13}, a_{23})$ 经过仿射变换逆映射式 (I-3) 后回到原点, 即
$\left\{ \begin{aligned} 0 = a'_{11} a_{13} + a'_{12} a_{23} + a'_{13}\\ 0 = a'_{21} a_{13} + a'_{22} a_{23} + a'_{23} \end{aligned} \right. \tag{IV-1-7}$
上式写成矩阵形式为
$\begin{bmatrix}a'_{11} & a'_{12}\\a'_{21} &a'_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{13} \\ a_{23} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a'_{13} \\ a'_{23} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix} \tag{IV-1-8}$
将式 (IV-1-4)、(IV-1-5)、(IV-1-8) 代入式 (IV-1-3), 即仿射变换后的新点坐标式 (IV-1-1) 左侧为
$\begin{aligned} \text{LHS}\ =\ & \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} x_1 {+} \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} y_1 {+} \begin{bmatrix} a &b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix} {+} c\\ =\ & a x_1 {+} b y_1 {+} c\\ = \ &0 \end{aligned} \tag{IV-1-9}$
也就是说, 点 $x_1, y_1)$ 经过仿射变换后得到的新点 $x'_1, y'_1)$ 满足直线 $a x + b y + c = 0$ 进过仿射变换后得到的新直线方程式 (IV-1-2).

即直线上一点经过仿射变换后仍然在经过仿射变换后的直线上.

2. 直线外一点映射为直线外一点

如果存在仿射变换 $\varphi$ 可以将直线 $l$ 外一点 $P$ 映射为直线 $l^{'}$ 上一点 $P^{'}$ , 即
$\varphi:l \mapsto l'\\ \varphi:P \mapsto P' \\ P \notin l, P' \in l'\tag{IV-2-1}$
因为仿射变换的逆变换仍然是仿射变换, 即 $\varphi^{-1}$ 仍然是仿射变换.

由已证明的 “直线上一点映射为直线上一点”, 可知经过逆仿射变换 $\varphi^{-1}$ , 直线 $l^{'}$ 上点 $P^{'}$ 映射为直线 $l$ 上点 $P$ .

即已知像点 $P^{'}$ 在直线 $l^{'}$ 上时, 原像点 $P$ 必在直线 $l$ 上.

假设矛盾, 证毕.

V. 保持单比的代数证明

共线三点 $P (x, y)$ 、 $P_1(x_1, y_1)$ 、 $P_2(x_2, y_2)$ 的单比为
$(P_1 P_2 P) = \frac{x-x_1}{x - x_2}=\frac{y-y_1}{y-y_2}=k \tag{V-1}$
即
${x-x_1}= k(x - x_2)\\ {y-y_1}= k(y-y_2) \tag{V-2}$
经过仿射变换后得到 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 、 $P'_1(x'_1, y'_1)$ 、 $P'_2(x'_2, y'_2)$ . 由仿射变换的结合性可知, $P^{'}$ 、 $P'_1$ 、 $P'_2$ 三点仍然共线. 共线三点可计算单比
$(P'_1 P'_2 P') = \frac{x'-x'_1}{x' - x'_2}=\frac{y'-y'_1}{y'-y'_2}=k' \tag{V-3}$
由仿射变换式 (I-1) 并结合式 (V-2), 可知
$\begin{aligned} k' &= \frac{x'-x'_1}{x' - x'_2} \\ &= \frac{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} - (a_{11} x_1 + a_{12} y_1 + a_{13})}{a_{11} x + a_{12} y + a_{13} - (a_{11} x_2 + a_{12} y_2 + a_{13})}\\ &= \frac{a_{11} (x-x_1) + a_{12} (y-y_1)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\ &= \frac{k a_{11} (x-x_2) + k a_{12} (y-y_2)}{a_{11} (x-x_2) + a_{12} (y-y_2)}\\ &= k \end{aligned}\tag{V-4}$
即单比保持不变.

VI. 平行性的代数证明

已知两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 平行, 则该两条直线的方程可写为
$\left\{ \begin{aligned} l_1: ax+by+c_1=0\\ l_2: ax+by+c_2=0 \end{aligned} \right. \tag{VI-1}$
其中 $c_1 \neq c_2$ . (注意仿射坐标系不一定为直角坐标系)

由同素性证明中式 (III-1-2) , 直线 $l_1$ 和 $l_2$ 经过仿射变换的方程式分别为
$l'_1: (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c_1) = 0\\ l'_2: (a a'_{11}+ b a'_{21}) x' + (aa'_{12} + b a'_{22}) y' +(a a'_{13} + b a'_{23} +c_2) = 0$
其中 $a'_{13} + b a'_{23} +c_1 \neq a a'_{13} + b a'_{23} +c_2$ , 而两者的方向数相同.

可知经过仿射变换后 $l'_1$ 和 $l'_2$ 仍然平行.

参考文献

[1] 梅向明, 刘增贤, 王汇淳, 王智秋, 高等几何(第四版), 高等教育出版社, 2020

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本文作者：wzf@robotics_notes