数据结构之二叉搜索树（key模型与key_value模型）

今天我来介绍的是二叉搜索树，这一块我希望大家如果有不会的地方下来好好理解，这一节课与下一节的set/map关联挺大的。

1. ⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

–• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

–• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

–• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

–• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值.(multimap/multiset)这一块我们下一节介绍,今天我主要介绍的是不允许冗余的情况

2. ⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： O( N/2)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

3. ⼆叉搜索树的插⼊

以上的基本知识我们学习完后就来看一下二叉树的插入。

1、树为空，我们直接将第一个插入的节点作为根节点即可。
2、数不为空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）（这里我建议向左走，后序我们会学习平衡的概念，这棵树失衡的情况下，右节点会跑到左边）

这里我们可以按照之前学习二叉树时，二叉树的构建一样采用递归来插入，但这里有个简单的方式那就是循环，我们直接比较当前节点的值与插入的值的大小，如果小于就走左，大于就走右，等于直接就返回false（这里我只写不允许冗余，大家下来可以考虑有冗余的情况），如果当前节点走到空了，那这个位置就是我们需要插入的位置。

节点类：

template<class k>//k就是我们的key
struct BSTNode
{k _key;BSTNode<k>* _left;BSTNode<k>* _right;BSTNode(const k& x) :_key(x), _left(nullptr), _right(nullptr) {}//构造
};
//节点

插入部分：

bool insert(const k& x)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(x);}//根节点为空Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}//找到该插入的位置，为curcur = new Node(x);//找到以后还需要判断它插入在父节点哪一边if (x < parent->_key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return 0;
}

这里是需要引入cur（当前节点）的parent（父亲指针）的，因为我们要插入节点，需要将插入的节点与整棵树链接。

这一块写完不好测试对吧，因为调试窗口只能看到节点插入与否，那我们写一个中序遍历，首先搜索二叉树永远是一个左小于根，根小于右的结构，中序遍历一定是一个递增的数列，这一块要是不知道的建议去其他地方找视频看，文字不好演示，这里就不做演示了。

void _inorder(const Node* root)
{if (root == nullptr)return;_inorder(root->_left);cout << root->_key << ' ';_inorder(root->_right);}

这就是中序的代码，但是我们可以看到，要调用这个函数必须要传一个节点指针，二叉树的私有成员就是我们的_root指针,我们能在外部访问我们的根再传入吗？
为了不破坏类的封装，这里有两种方式解决：
1、getroot函数，提供访问根节点的指针。
2、再写一个共有的调用_inorder的函数，类外部不能访问，类内部是可以访问的。

void inorder()
{_inorder(_root);cout << endl;
}

这样就搞定了。

那现在我们来测试一下：

这里的key模型担任的工作是不是可以有去重加排序啊。

4. ⼆叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

写完插入写查找是不是就太简单了啊

Node* find(const k& x)
{Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key)cur = cur->_left;else if (x > cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;
}

这里我们就不需要parent了，因为我们只是查找当前节点在不在，跟父节点没有半毛钱关系对吧。

5. ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：
5. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
6. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
7. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
8. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

这是第一种与第二种情况。

第三种情况较为复杂一点：

bool erase(const k& x)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到当前位置{if (cur->_left == nullptr)//左为空{if (_root == cur)//特殊情况，当cur为空，且左为空，就将根移动{_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr)//右为空{if (_root == cur)//同上{_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}else//双边节点{Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;//replace的左边一定没有节点了if (replace == replaceparent->_left)replaceparent->_left = replace;elsereplaceparent->_right = replace;delete replace;}return true;}}return false;
}

6. ⼆叉搜索树的实现代码

#include<iostream>
using namespace std;namespace key
{template<class k>struct BSTNode{k _key;BSTNode<k>* _left;BSTNode<k>* _right;BSTNode(const k& x) :_key(x), _left(nullptr), _right(nullptr) {}};//节点template<class k>class BSTree{typedef BSTNode<k> Node;public:BSTree() = default;//强制生成构造BSTree(const BSTree& t){_root = copy(t._root);}//拷贝构造，这块比较简单，如果实在不懂的话私聊我BSTree& operator=(BSTree t){swap(_root, t._root);return *this;}//赋值构造~BSTree(){destroy(_root);_root = nullptr;}//析构采用一个后序遍历即可bool insert(const k& x){if (_root == nullptr){_root = new Node(x);}//根节点为空Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}//找到该插入的位置，为curcur = new Node(x);if (x < parent->_key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return 0;}void inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}bool erase(const k& x){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到当前位置{if (cur->_left == nullptr){if (_root == cur){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (_root == cur){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}else//双边节点{Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;//replace的左边一定没有节点了if (replace == replaceparent->_left)replaceparent->_left = replace;elsereplaceparent->_right = replace;delete replace;}return true;}}return false;}Node* find(const k& x){Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key)cur = cur->_left;else if (x > cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;}private:void _inorder(const Node* root){if (root == nullptr)return;_inorder(root->_left);cout << root->_key << ' ';_inorder(root->_right);}void destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;destroy(root->_left);destroy(root->_right);delete root;}Node* copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* r = new Node(root->_key);r->_left = copy(root->_left);r->_right = copy(root->_right);return r;}Node* _root = nullptr;};
}

这份代码是key的模型，什么是key_value呢？就是每个节点存储两个值，key跟上面写的一样作为插入删除等等的基准，value想存啥就存啥。

7. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现

这里只需要增加一个模版参数即可

namespace key_value
{template<class k,class v>struct BSTNode{k _key;v _value;BSTNode<k,v>* _left;BSTNode<k,v>* _right;BSTNode(const k& x,const v& y) :_key(x), _value(y), _left(nullptr), _right(nullptr) {}};//节点template<class k,class v>class BSTree{typedef BSTNode<k,v> Node;public:BSTree() = default;//强制生成构造BSTree(const BSTree& t){_root = copy(t._root);}BSTree& operator=(BSTree t){swap(_root, t._root);return *this;}~BSTree(){destroy(_root);_root = nullptr;}bool insert(const k& x,const v& y){if (_root == nullptr){_root = new Node(x, y);}//根节点为空Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;}//找到该插入的位置，为curcur = new Node(x,y);if (x < parent->_key){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}return 0;}void inorder(){_inorder(_root);cout << endl;}bool erase(const k& x){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (x > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else//找到当前位置{if (cur->_left == nullptr){if (_root == cur){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (_root == cur){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}else//双边节点{Node* replaceparent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceparent = replace;replace = replace->_left;}cur->_key = replace->_key;//replace的左边一定没有节点了if (replace == replaceparent->_left)replaceparent->_left = replace;elsereplaceparent->_right = replace;delete replace;}return true;}}return false;}Node* find(const k& x){Node* cur = _root;while (cur){if (x < cur->_key)cur = cur->_left;else if (x > cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;}private:void _inorder(const Node* root){if (root == nullptr)return;_inorder(root->_left);cout << root->_key << "->" << root->_value << endl;_inorder(root->_right);}void destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;destroy(root->_left);destroy(root->_right);delete root;}Node* copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* r = new Node(root->_key,root->_value);r->_left = copy(root->_left);r->_right = copy(root->_right);return r;}Node* _root = nullptr;};
}

8、运用于实际的key_value

void test4()
{string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){// 先查找水果在不在搜索树中// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.find(str);if (ret == nullptr){countTree.insert(str, 1);}else{// 修改valueret->_value++;}}countTree.inorder();key_value::BSTree<string, int> copy = countTree;copy.inorder();}