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线性代数行列式

news 2026/3/27 18:13:30

一、行列式

1、定义

一个数学概念，主要用于线性代数中，它是一个可以从方阵（即行数和列数相等的矩阵）形成的一个标量（即一个单一的数值）

2、二阶行列式

，像这样将一个式子收缩称为一个 2*2 的表达形式

二阶行列式计算：对角线法，左上到右下（主对角线）减去右上到左下（副对角线）

3、三阶行列式

对角线法则计算：

4、n阶行列式

4.1、排列

从一组元素中选出若干个元素，并按照一定的顺序排列起来。对于一个包含 n 个元素的集合，其所有元素的全排列数目是 n!（即 n 的阶乘）

4.2、逆序

如果一个较大的数排在一个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序；逆序的总数称为逆序数；逆序数可以帮助我们理解排列的“混乱”程度。

例如，在排列 (3,1,4,2) 中，逆序有： 3 和 1 构成一个逆序、3 和 2 构成一个逆序、4 和 2 构成一个逆序；这个排列的逆序数是 3；逆序的表示符号为N或者为τ(读作涛)

4.3、奇排列和偶排列

如果一个排列的逆序数是奇数，则称该排列为奇排列；如果是偶数，则称该排列为偶排列。

例如：N(1432) = 3，则 (1432) 为奇排列；N(4321)=6，则 (4321) 为偶排列。

4.4、对换

排列中的任意两个元素进行交换（称为对换），会改变排列的奇偶性。例如：N(651243) = 10，为偶排列，将5和1兑换，则 N(615243) = 9，为奇排列。

4.5、行列式展开

按行展开

3阶行列式按行展开后为6项，每项为3个不同行不同列的3个元素相乘，aij元素的行标i都是123的自然排列，aij元素列标j则为：123、231、312、321、213、132，总数为3!=6（保证按照行顺序进行，则逆序数就可用列顺序排列即可 ）

分别计算列标排列的逆序数：

N(123) = 0 偶数

N(231) = 1 + 1 = 2 偶数

N(312) = 2 偶数

N(321) = 2 + 1 = 3 奇数

N(213) = 1 奇数

N(132) = 1 奇数

通过观察公式可以看出，逆序数为偶数的排列的运算符号为+，为奇数的排列的运算符号为-

总结：

1.行标取自然排列（一般以第一行为准，按照从左到右依次排队）

2.不同行不同列的3个元素相乘（第一行取了第一列的数据，那么第二行的数据只能从第二列或第三列获取）

3.列标取排列的所有可能（第一行取了第一列的数据，那么就产生两种数据， $a_{11} a_{12} a_{13}$ 或者 $a_{11}a_{23}a_{32}$ ，同理类推，在第一个确定的情况，后面只会有两种排列）

4.列标排列的逆序数的奇偶性决定运算符号，逆序数为偶数的运算符号为+，奇数的运算符号为-

那么得到n阶行列式的表达式为

也就是挨个列举第一行的值乘上排列得到值的累加之和；使用逆序数来判断符号。

例如：

按列展开

同按行展开，列标按顺序获取，列举所有可能行标，判断行标的逆序数，将所有可能值相机得到最终结果

4.6、特殊n阶行列式

行列式某一行(列)全为0，则行列式为0；

三角形行列式等于对角线元素的乘积（逆序数判断正负号，主对角线为正、副对角线为负）；

二、行列式性质

1、行列式的转置等于行列式本身 $det(A)^T$ = $det(A)$

2、交换行列式的两行（任意行列）会导致行列式的值变为其原来的相反数；

3、行列式两行(列)相等，则行列式为0；

4、用k乘以行列式某一行的所有元素，等于用k乘以行列式；

5、如果一个行列式的两行（或两列）对应成比例，那么这个行列式的值必定为零。（与3类似）

6、如果一个行列式的某一行（或某一列）是两个数之和，那么这个行列式可以表示为两个行列式的和 det⁡(A)=det⁡(B)+det⁡(C)

7、将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上，行列式的值保持不变。（切记，归根结底是行列式的行相加或者列相加，不是行乘外来数值赋值到本行列式）

三、行列式扩展

1、代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 给定一个 n×n的矩阵 A，其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式；余子式的一个重要应用是计算行列式的值，行列式 det⁡(A)等于任意一行或一列的元素与其对应的余子式的乘积(代数余子式)的累计之和。

代数余子式 给定一个 n×n 的矩阵 A，其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为： $C_{ij}$ = ${-1}^{i+j}$ ⋅ $M_{ij}$

例如：对于一个 3×3的矩阵

元素 a11的代数余子式 C11 = ${-1}^{(1+1)}$ * $M_{11}$ = $M_{11}$

拉普拉斯展开定理 行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和（det⁡(A) = $a_{11}$ $C_{11}$ + $a_{12}$ $C_{12}$ + $a_{13}$ $C_{13}$ ）

2、克莱姆法则

假设有一个由 n 个线性方程组成的n 元线性方程组如下，可以将方程组写成 AX=B（不存在部分系数等于0）；

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