leetcode 刷题day44动态规划Part13（ 647. 回文子串、516.最长回文子序列）

647. 回文子串

动规五部曲：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
按照之前做题的惯性，定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么，就如何定义dp数组。但是对于本题来说，这样定义很难得到递推关系，dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

在判断字符串S是否是回文时，如果知道 s[1]，s[2]，s[3] 子串是回文，只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。此时找到了一种递归关系，判断一个字符串下标范围[i,j]是否回文，依赖于子字符串下标范围[i + 1, j - 1]是否是回文。

所以dp数组要定义成一个二维dp数组。布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2、确定递推公式

• 当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
• 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
  情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
  情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
  情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3、dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false

4、确定遍历顺序
从递推公式中可以看出情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true对dp[i][j]进行赋值的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。所以从下到上，从左到右遍历，保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
举例aaa，先从最后一个a开始遍历，然后第2个a，最后是第1个a
因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

5、举例推导dp数组

代码如下：

class Solution {public int countSubstrings(String s) {boolean[][] dp=new boolean[s.length()][s.length()];int result=0;for(int i=s.length();i>=0;i--){for(int j=i;j<s.length();j++){if(s.charAt(i)==s.charAt(j) && (j-i<=1 || dp[i+1][j-1])){result++;dp[i][j]=true;}}}return result;}
}

还可以考虑使用中心扩散法。
确定回文串-就是找中心然后向两边扩散看是不是对称。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况：一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。对每一个元素作为中心点的情况进行遍历。

代码如下：

class Solution {public int countSubstrings(String s) {int reslut=0;for(int i=0;i<s.length();i++){reslut+=extend(s,i,i,s.length());reslut+=extend(s,i,i+1,s.length());}return reslut;}public int extend(String s,int i,int j,int n){int res=0;while(j<n && i>=0 && s.charAt(i)==s.charAt(j)){res++;i--;j++;}return res;}
}

516.最长回文子序列

思路：该题与上一题的区别在于子序列是删除某些元素得到的序列。
动规五部曲分析如下：

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2、确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

• 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
• 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]；加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。dp[i][j]取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

因为遍历了每个i和j，且考虑了不取左边或右边的情况，因而可以实现子序列不连续。

3、dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式计算不到 i 和j相同时候的情况，所以需要手动初始化一下，当i与j相同，dp[i][j]=1，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

4、确定遍历顺序
和上一题一样，从下到上，从左到右遍历。

5、举例推导dp数组

代码如下：

class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {int[][] dp=new int[s.length()][s.length()];for(int i=0;i<s.length();i++){dp[i][i]=1;}for(int i=s.length();i>=0;i--){for(int j=i+1;j<s.length();j++){if(s.charAt(i)==s.charAt(j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;else dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);}}return dp[0][s.length()-1];}
}