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RC低通滤波器Bode图分析(传递函数零极点)

RC低通滤波器

在这里插入图片描述
我们使得R=1K,C=1uF;电容C的阻抗为Xc;

传递函数

H ( s ) = u o u i = X C X C + R = 1 s C 1 s C + R = = 1 1 + s R C (其中 s = j ω ) H(s)=\frac{u_{o} }{u_{i} } =\frac{X_{C} }{X_{C}+R} =\frac{\frac{1}{sC} }{\frac{1}{sC}+R} ==\frac{1 }{1+sRC}(其中s=j\omega ) H(s)=uiuo=XC+RXC=sC1+RsC1==1+sRC1(其中s=
将传递函数进一步整理可得:
H = 1 − j ω R C 1 + ( ω R C ) 2 H=\frac{1-j\omega RC}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} } H=1+(ωRC)21RC
由上式可得出传递函数的实部和虚部:
r e a l = 1 1 + ( ω R C ) 2 i m a g e = − ω R C 1 + ( ω R C ) 2 \begin{matrix}real=\frac{1}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} } \\image=\frac{-\omega RC}{1+\left ( \omega RC \right ) ^{2} } \end{matrix} real=1+(ωRC)21image=1+(ωRC)2ωRC
进一步求出幅值和相位表达式:
幅值 = r e a l 2 + i m a g e 2 = 1 1 + ω R C 2 相位 = a r c t a n ( i m a g e r e a l ) = a r c t a n ( − ω R C ) ( 其中 ω = 2 π f ) \begin{matrix}幅值=\sqrt{real^{2}+image^{2} } =\sqrt{\frac{1}{1+ \omega RC^{2} } } \\相位=arctan\left (\frac{image}{real} \right ) =arctan\left (- \omega RC \right ) \\(其中 \omega =2\pi f) \end{matrix} 幅值=real2+image2 =1+ωRC21 相位=arctan(realimage)=arctan(ωRC)(其中ω=2πf)

截止频率

f r = 1 2 π R C f_{r}=\frac{1}{2\pi RC} fr=2πRC1
有关截止频率的计算可以看之前的文章:https://editor.csdn.net/md/?articleId=139279203

零点与极点

由传递函数可求出零点与极点:
H ( s ) = u o u i = X C X C + R = 1 s C 1 s C + R = = 1 1 + s R C (其中 s = j ω ) H(s)=\frac{u_{o} }{u_{i} } =\frac{X_{C} }{X_{C}+R} =\frac{\frac{1}{sC} }{\frac{1}{sC}+R} ==\frac{1 }{1+sRC}(其中s=j\omega ) H(s)=uiuo=XC+RXC=sC1+RsC1==1+sRC1(其中s=
零点:令传递函数的分子为0可求出零点,得此RC滤波器无零点;
极点:令传递函数的分子为0可求出极点,得
s = − 1 R C (注意单位问题,我们平常计算时需要计算出频率;如果计算出负值,需要取其绝对值) s=-\frac{1 }{RC }(注意单位问题,我们平常计算时需要计算出频率;如果计算出负值,需要取其绝对值) s=RC1(注意单位问题,我们平常计算时需要计算出频率;如果计算出负值,需要取其绝对值)

Bode图绘制与分析

现在,我们使用matlab来画出这个RC滤波器的bode图,如下:
在这里插入图片描述

我们来进一步分析这个bode图:

  1. 在截止频率处f,=fr≈159.15Hz处,对应的幅值和相位计算如下: 幅值 = 1 1 + ( ω R C ) 2 = 1 1 + ( 2 π f r R C ) 2 = 2 2 (即 − 3 d B ) 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f r R C ) = a r c t a n ( − 1 ) = − 45 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+ (\omega RC)^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ (2\pi f_{r}RC)^{2} } } =\frac{\sqrt{2} }{2} (即-3dB) \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f_{r} RC \right )=arctan\left (-1 \right )=-45° \end{matrix} 幅值=1+ωRC21 =1+2πfrRC21 =22 (即3dB相位=arctan(ωRC)=arctan(2πfrRC)=arctan(1)=45°
  2. 在截止频率左侧,当f<<fr时,对应的幅值和相位计算如下: 幅值 = 1 1 + ( ω R C ) 2 = 1 1 + ( 2 π f R C ) 2 ≈ 1 (即 0 d B ) 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f R C ) ≈ a r c t a n ( 0 ) = 0 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+( \omega RC)^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ (2\pi fRC)^{2} } } ≈1(即0dB) \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f RC \right ) ≈arctan\left (0 \right )=0° \end{matrix} 幅值=1+ωRC21 =1+2πfRC21 1(即0dB相位=arctan(ωRC)=arctan(2πfRC)arctan(0)=
  3. 在截止频率右侧,当f>>fr时,对应的幅值和相位计算如下: 幅值 = 1 1 + ( ω R C ) 2 = 1 1 + ( 2 π f R C ) 2 (随着频率增大幅值减小,斜率为 − 20 d B / 10 d e c ,即频率每增加 10 倍,幅值衰减 20 d B ) 相位 = a r c t a n ( − ω R C ) = a r c t a n ( − 2 π f R C ) ≈ a r c t a n ( − ∞ ) = − 90 ° \begin{matrix} 幅值=\sqrt{\frac{1}{1+ (\omega RC)^{2} } } =\sqrt{\frac{1}{1+ (2\pi fRC)^{2} } } \\(随着频率增大幅值减小,斜率为-20dB/10dec,即频率每增加10倍,幅值衰减20dB) \\相位=arctan\left (- \omega RC \right ) =arctan\left (- 2\pi f RC \right ) ≈arctan\left (-∞ \right )=-90° \end{matrix} 幅值=1+ωRC21 =1+2πfRC21 (随着频率增大幅值减小,斜率为20dB/10dec,即频率每增加10倍,幅值衰减20dB相位=arctan(ωRC)=arctan(2πfRC)arctan()=90°
  4. 对于RC低通滤波器来说,其极点对应的频率与截止频率数值上相等,bode图上也可以看出,均为159.19Hz;
    每增加一个极点,可以使得bode图的幅值变化-20dB/dec,相位变化-90°;
    bode图上: 极点前后幅值由0dB/dec变为-20dB/dec,变化-20dB/dec;极点前后相位由0°变化为-90°,变化-90°;

matlab代码

R=1000;
C=1*10^(-6);
H=tf([1],[(R*C) 1]);% 获取零极点
z = zero(H);
p = pole(H);opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'Hz'; % 设置频率单位为Hzbode(H, opts);
grid on% 获取当前坐标轴
h = findobj(gcf, 'Type', 'axes');% 设置增益图的横纵坐标显示值
set(h(1), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(1), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
set(h(1), 'YLim', [-80, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(1), 'YTick',[-80,-70,-60,-50,-40,-30,-20,-10,0]); % 设置纵坐标刻度% 设置相位图的横纵坐标显示值
set(h(2), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(2), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
%set(h(2), 'YLim', [-90, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(2), 'YTick', [-90, -75, -60,-45,-30,-15,0]); % 设置纵坐标刻度% 计算截止频率
%RC = 1 / abs(p); % 截止频率为极点的绝对值的倒数
cutoff_freq = 1 / (2 * pi * R*C); % 截止频率(Hz)% 在增益图上标示零点和极点
for i = 1:length(h)if i == 1 % 增益图% 标示零点for j = 1:length(z)if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大hold on;% 将零点从弧度转换为赫兹freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注endend% 标示极点for j = 1:length(p)if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大hold on;% 计算频率freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率% 处理负频率if freq_hz < 0freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率elsefreq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率end% 标示正频率plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注endend% 标示截止频率%hold on;%plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线%text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');elseif i == 2 % 相位图% 标示零点for j = 1:length(z)if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大hold on;% 将零点从弧度转换为赫兹freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注endend% 标示极点for j = 1:length(p)if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大hold on;% 计算频率freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率% 处理负频率if freq_hz < 0freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率elsefreq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率end% 标示正频率plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注endend% 标示截止频率hold on;plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');end
end

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