RC低通滤波器Bode图分析（传递函数零极点）

RC低通滤波器

我们使得R=1K，C=1uF；电容C的阻抗为Xc；

传递函数

$$H(s)=\frac{u_o}{u_i}=\frac{X_C}{X_C+R}=\frac{\frac{1}{sC}}{\frac{1}{sC}+R}==\frac{1}{1+sRC}（其中s=j\omega ）$$
将传递函数进一步整理可得：
$$H=\frac{1-j\omega RC}{1+{\left(\omega RC\right)}^2}$$
由上式可得出传递函数的实部和虚部：
$$\begin{array}{c}real=\frac{1}{1+{\left(\omega RC\right)}^2}\\ image=\frac{-\omega RC}{1+{\left(\omega RC\right)}^2}\end{array}$$
进一步求出幅值和相位表达式：
$$\begin{array}{c}幅值=\sqrt{rea{l}^2+imag{e}^2}=\sqrt{\frac{1}{1+\omega R{C}^2}}\\ 相位=arctan\left(\frac{image}{real}\right)=arctan\left(-\omega RC\right)\\ (其中\omega =2\pi f)\end{array}$$

截止频率

$$f_r=\frac{1}{2\pi RC}$$
有关截止频率的计算可以看之前的文章：https://editor.csdn.net/md/?articleId=139279203

零点与极点

由传递函数可求出零点与极点：
$$H(s)=\frac{u_o}{u_i}=\frac{X_C}{X_C+R}=\frac{\frac{1}{sC}}{\frac{1}{sC}+R}==\frac{1}{1+sRC}（其中s=j\omega ）$$
零点：令传递函数的分子为0可求出零点，得此RC滤波器无零点；
极点：令传递函数的分子为0可求出极点，得
$$s=-\frac{1}{RC}（注意单位问题，我们平常计算时需要计算出频率；如果计算出负值，需要取其绝对值）$$

Bode图绘制与分析

现在，我们使用matlab来画出这个RC滤波器的bode图，如下：

我们来进一步分析这个bode图：

1. 在截止频率处f，=fr≈159.15Hz处，对应的幅值和相位计算如下： $$\begin{array}{c}幅值=\sqrt{\frac{1}{1+（\omega RC{）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+（2\pi f_{r}RC{）}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}（即-3dB）\\ 相位=arctan\left(-\omega RC\right)=arctan\left(-2\pi f_{r}RC\right)=arctan\left(-1\right)=-45°\end{array}$$
2. 在截止频率左侧，当f<<fr时，对应的幅值和相位计算如下： $$\begin{array}{c}幅值=\sqrt{\frac{1}{1+（\omega RC{）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+（2\pi fRC{）}^2}}\approx 1（即0dB）\\ 相位=arctan\left(-\omega RC\right)=arctan\left(-2\pi fRC\right)\approx arctan\left(0\right)=0°\end{array}$$
3. 在截止频率右侧，当f>>fr时，对应的幅值和相位计算如下： $$\begin{array}{c}幅值=\sqrt{\frac{1}{1+（\omega RC{）}^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+（2\pi fRC{）}^2}}\\ （随着频率增大幅值减小，斜率为-20dB/10dec，即频率每增加10倍，幅值衰减20dB）\\ 相位=arctan\left(-\omega RC\right)=arctan\left(-2\pi fRC\right)\approx arctan\left(-\infty \right)=-90°\end{array}$$
4. 对于RC低通滤波器来说，其极点对应的频率与截止频率数值上相等，bode图上也可以看出，均为159.19Hz；
   每增加一个极点，可以使得bode图的幅值变化-20dB/dec，相位变化-90°；
   bode图上： 极点前后幅值由0dB/dec变为-20dB/dec，变化-20dB/dec；极点前后相位由0°变化为-90°，变化-90°；

matlab代码

R=1000;
C=1*10^(-6);
H=tf([1],[(R*C) 1]);% 获取零极点
z = zero(H);
p = pole(H);opts = bodeoptions;
opts.FreqUnits = 'Hz'; % 设置频率单位为Hzbode(H, opts);
grid on% 获取当前坐标轴
h = findobj(gcf, 'Type', 'axes');% 设置增益图的横纵坐标显示值
set(h(1), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(1), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
set(h(1), 'YLim', [-80, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(1), 'YTick',[-80,-70,-60,-50,-40,-30,-20,-10,0]); % 设置纵坐标刻度% 设置相位图的横纵坐标显示值
set(h(2), 'XScale', 'log'); % 设置横坐标为对数刻度
set(h(1), 'XLim', [1,1000000]);
set(h(2), 'XTick', [1,10,100,1000,10000,100000,1000000]); % 设置横坐标刻度
%set(h(2), 'YLim', [-90, 0]); % 设置纵坐标范围
set(h(2), 'YTick', [-90, -75, -60,-45,-30,-15,0]); % 设置纵坐标刻度% 计算截止频率
%RC = 1 / abs(p); % 截止频率为极点的绝对值的倒数
cutoff_freq = 1 / (2 * pi * R*C); % 截止频率（Hz）% 在增益图上标示零点和极点
for i = 1:length(h)if i == 1 % 增益图% 标示零点for j = 1:length(z)if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大hold on;% 将零点从弧度转换为赫兹freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注endend% 标示极点for j = 1:length(p)if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大hold on;% 计算频率freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率% 处理负频率if freq_hz < 0freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率elsefreq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率end% 标示正频率plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注endend% 标示截止频率%hold on;%plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线%text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');elseif i == 2 % 相位图% 标示零点for j = 1:length(z)if ~isinf(z(j)) % 排除无穷大hold on;% 将零点从弧度转换为赫兹freq_hz = real(z(j)) / (2 * pi);plot([freq_hz, freq_hz], [-90, 0], 'r--'); % 画虚线text(freq_hz, -90, sprintf('Zero: %.2f Hz', freq_hz), 'Color', 'r'); % 添加文本标注endend% 标示极点for j = 1:length(p)if ~isinf(p(j)) % 排除无穷大hold on;% 计算频率freq_hz = (p(j)) / (2 * pi); % 使用虚部计算频率% 处理负频率if freq_hz < 0freq_hz_positive = -freq_hz; % 转换为正频率elsefreq_hz_positive = freq_hz; % 保持正频率end% 标示正频率plot([freq_hz_positive, freq_hz_positive], [-100, 10], 'g--'); % 画虚线text(freq_hz_positive, -80, sprintf('Pole: %.2f Hz', freq_hz_positive), 'Color', 'g'); % 添加文本标注endend% 标示截止频率hold on;plot([cutoff_freq, cutoff_freq], [-90, 0], ':'); % 画截止频率虚线text(cutoff_freq, -70, sprintf('Cutoff: %.2f Hz', cutoff_freq), 'Color', 'b');end
end