微积分[1]｜微积分的底层逻辑——解析几何、不等式与极限（含博主推荐的数理阅读教材共计21本书籍）

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微积分的底层逻辑探究

矩阵连通代数，代数连通方程，方程连通完全线性的方程，点积与叉积则完全建立在线性空间之上。

解析几何是“矩阵、代数、方程”三者共同的地基。 无穷维解析几何是泛函分析，另外一个大的推广是代数几何。代数几何里面包含了许多函数论与拓扑学的内容。

1. 极限的根基是不等式、实数理论。
2. 实数$R$包含有理数$Q$与无理数，一整根数轴是“稠密”的，上面没有空隙。
3. 有理数与无理数的构造涉及近似不足与近似过剩的不等式组。
4. 解析几何 + 极限 = 微积分（e.g.麻省理工数理本科教材《微积分与解析几何》、《马同学图解微积分》上下两册。）
5. 解析几何 + 向量 = 线性代数（e.g.《线性代数的几何意义》任广千、《马同学图解线性代数》。）
6. 解析几何 + 向量 + 代数结构 = 高等代数（e.g.《高等代数》（上、下）和《高等代数学习指导书》北京大学数学教授蓝以中先生。）
7. 解析几何 + 复数 + 极坐标与参数方程 = 复变函数（e.g.《复变函数及其应用》）

作为一个毕业多年后现今正在重新学数学的一条素质教育的漏网之鱼，个人的体会是这中间的学科绝对是不能跳级的。绝对可以确切地说，大学院校里上来直接学高等代数，相当于在学习阶梯上直接跳过了基础的两门数理科目——解析几何、线性代数——前者是地基，后者是桥梁。国内大学院校绝大多数的大一新生，在学习数学分析、高等代数这两门科的课程时，因不合理的科目学习计划安排而痛苦挣扎的不在少数。

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一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》

数学分析的核心是不等式，而代数是等式。

常言道：“数学分析是不等式，而代数是等式。”这是学习分析和代数很久以后才能体会得到的。我们从数学分析和高等代数的角度来浅谈这句话的含义。我们先说为什么分析是不等式？

数学分析是伊普西隆——艾塔（$epsilon$—$eta$）语言导出的体系。从实数系 $R$ 的建立开始，走向实数系基本定理，再导出各个基本定理。整个体系是由十九世纪的伊普西隆——艾塔语言贯穿始终的。

回顾数学分析的每一块内容。先是极限论，主要为数列极限、函数极限。极限是由伊普西隆语言定义的，我们证明极限就是设法证明一个式子和极限这个数的距离是任意小 $epsilon$，也就是小于伊普西隆。既然是证小于，中间就必然要经历一连串的不等式放缩。

在二十四册的数学基础丛书中的《有理数与无理数》一书中有以下内容：

• 手动开无理数$\sqrt{2}$；
• 运用不等式组表示$\sqrt{2}$，它大于“不足近似值”，小于“过剩近似值”。随着小数点后的位数不断增加，由此可以形成一连串以$\sqrt{2}$为中心的无限不等式组；实数理论之柯西序列
• 在数轴上表示$\sqrt{2}$，本质上是以有理数来逼近无理数，但这个精度即小数点后面的位数可以无限拉高；
• 尝试使用一元多项式环的定义来区分“代数数”与“超越数”，即若可以用形如 $c_n{x}^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+c_{n-2}{x}^{n-2}+...+c_{1}x+c_0=0$ 的整数系代数方程表达出来则为代数数，不能就是超越数。无理数$\sqrt{2}$本质上是一个超越数，它不能用含未知数 $x$ 的整数系代数方程式表达出来；
• 连分数表示无理数$\sqrt{2}$；
  …………

再是微分学和积分学，但是微分学的本质还是极限，毕竟导数就是用极限定义的。而积分学用黎曼和的极限定义，这也是极限。

后面再是级数，特殊的数列极限。函数项级数，特殊的级数，或者是可以看成二元的数列。再是多元微分学、多元积分学，分别是一元微分学和一元积分学的延申，本质上还是极限。

就是因为数学分析都是极限，而极限的定义就是不等式，所以你会发现几乎数学分析里所有的东西都是不等式。再后面其它的分析学，如复分析，实分析等等，都是把数学分析的概念进行了推广，但是本质还是在数学分析的框架下进行的，那自然脱不了不等式的束缚。

我们再说说为什么代数是等式？

高等代数的本质是不是矩阵？矩阵，或者更一般的代数对象，都是没有比较关系的。你有办法比较两个矩阵的大小吗？不能。甚至你连比较两个复数的大小都不能。

代数就是一点一点把数学定义抽象化，那么自然会出现大量不可比较的数学对象，除非你能够定义良好的序关系，但由于太过于抽象，定义往往很不自然，也没多大意义。

话说回矩阵，这一最基本的代数对象，虽然没办法比较大小，但是我们可以做运算，最基本的如四则运算，并且这定义出来是具有非常多良好性质的。这就造就了代数对象之间可以做一些等式的运算了。这种等式运算也是贯彻代数学始终的。

总的来说就是因为代数对象太过于抽象，没办法比较，只能做等式运算。而分析对象基本都是看得见摸得着有办法比较的数，所以往往都是不等式。当然这并不是说分析绝对都是不等式，代数绝对都是等式，仅仅是一个比较宽泛的现象罢了。

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高中数学与大学数学的脱节

｜脱节的实质含义

大学的数理课程与高中的内容是脱节的，大学的授课老师基本会默认大一新生在开学之前就已经掌握了大一数理课的前置内容，如反三角函数、极坐标与参数方程、不等式、整式、有理数与无理数、基本的复数概念等等，但根据笔者出校门后六七年的所见所思，事实并非如此。因为现今国内的高中学校不讲授基本的微积分、线性代数、群论的相关知识，导致大一新生入学就浪费了一个学期的时间去学习基本的知识概念，而这对于一二线城市的一部分孩子，特别是常年参加数学、物理竞赛的高校生而言，他（她）们在高中就已经提前初步学习了一遍。 如果读者自己搜索或者购买过上世纪70年代、80年代、90年代的老教材，如高中数学甲种本六册、高中物理甲种本三册、小平邦彦先生写的四册高中生数学教材、24册数学基础知识丛书，这些书目都初步涉及了基本的微积分、线性代数、矩阵运算的知识内容。 出于数学知识连贯和未来大学科目学习顺利过渡的角度考虑，笔者认为高三学生在高考后休息几天或者一个星期之后就应该去学习以下学科的初步知识：

• 微积分
• 线性代数
• 群论
• 集合论
• 点集拓扑（先学集合论）
• 力学
• 电磁学
• 微分方程
  ……

｜高中与大学的衔接数理书籍推荐

• 《高中大学数学衔接》周子翔
• 《高考导数探秘》董晟渤（作者是北大的数学系博士在读生，早年有数学竞赛背景，今年应该不超过25岁。）
• 《从初等数学到高等数学（卷一、卷二）》彭翕成、
• 《大学与中学数学衔接教程》卢兴江、黄正达、贾厚玉、姜海益
• 《高等数学基础：中学数学内容补充与数学概念和思维方法补充》苏德矿、余继光
• 铭师道作品系列六册【《五章算经》、《高数视角下的的导函数论》、《高数视角下的二次曲线》、《高中数学方法原本（三卷本）》】

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我个人所认为的数学分析的根基

“几何、代数、三角、不等式、初等数论、集合论、多项式理论、组合、函数方程”，这里的九个模块我认为甚至还可以再加一个“群论”。高中生其实已经可以去学群论了，据我了解很多海外的数学系、物理系的学生在高中时期就已经初步学习了微积分、群论，这不是什么困难的科目，学习之后对于高中生而言反而有更高维度的视角。

我见了太多太多的大学生学完高等数学（数学分析）之后只会计算几道数学题，遇到脱离计算套路的高数题目就无从下手不知所措，对以上的根基内容可谓是一塌糊涂。对于考研而言也是如此，大量的计算题考的不仅仅是速度，更是考验一个人根基学得扎实不扎实，可惜大部分考研生困于计算的藩篱，没有进行系统的基础科目的学习，这样子只会注定无缘后续高等学府的研究生教育。

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更新时间记录

• 文章的内容模块划分完毕，内容初步建立；「2024.10.17 15:42:」
• 书写各个模块的具体内容；「2024.10.22 17:50」
• 增加了高中大学数学衔接模块，含14本书籍。「2024.10.27 18:01」
• 在“高中数学与大学数学的脱节”一节中增加了“脱节的实质含义”一小节内容；「2024.11.6 10:15」
• 在“ 一篇网络文章《数学分析的核心——不等式》”一节中博主个人增加了五个等价表达无理数$\sqrt{2}$的方法；「2024.11.6 10:36」
• 删除了网络开源书籍《求极限大法》的个人评论，这本书是一本优秀的学习极限的奠基之作，可放在以后介绍。「2024.11.6 10:40」
• 增加“我个人所认为的数学分析的根基”一节。「2024.11.6 11:03」
• 检查了文章全文，点击“发布文章按键”。「2024.11.6 11:52」
• 审核通过后手机APP上看了一下文章的排版，发现有几处细节实在不能忍，中饭后打开电脑网页端在排版方面进行了几处修改。「2024.11.6 12:39」

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P.S.该篇文章中涉及到具体的书目名单有二十一本。七年了，从博主2018年4月份、5月份退学算起，再过几个月就要满七年了，时间呀，过得真快呀。七年，七年，这是能再读一次高中一次大学本科、两个本科、两个研究生、一个博士有余的时间段呀。人是不是都在年轻的时候都懵懂无知呢？这放在我身上也许是的吧。好多事情真的只有长大了才知道，才知道呀，这里面也包括了知识的阶梯。但这本应该是在学校就该学习到的呀！！！该学习到的呀！！！「2024.11.6 11:49」