模糊理论与模糊集概述

1. 模糊集

1️⃣${\mu }_A:U\to [0,1]$，将任意$u\in U$映射到$[0,1]$上的某个函数

1. 模糊集： A = { μ A ( u ) , u ∈ U } A=\{\mu_A(u),u\in{}U\} A={μA​(u),u∈U}称为$U$上的一个模糊集，
2. ${\mu }_A$：定义在$U$上的模糊集$A$的隶属函数
3. ${\mu }_A(u)$：$u$对模糊集$A$的隶属度

2️⃣离散论域$U$的模糊集$A$，以下表示中应剔除${\mu }_A(u_i)=0$的

1. 表示1： A = { μ A ( u 1 ) , μ A ( u 2 ) , . . . , μ A ( u n ) } A=\{\mu_A(u_1),\mu_A(u_2),...,\mu_A(u_n)\} A={μA​(u1​),μA​(u2​),...,μA​(un​)}
2. 表示2：$A={\mu }_A(u_1)/u_1+{\mu }_A(u_2)/u_2+...+{\mu }_A(u_n)/u_n=\sum _{i=1}^n{\mu }_A(u_i)/u_i$
3. 表示3： A = { μ A ( u 1 ) / u 1 , μ A ( u 2 ) / u 2 , . . . , μ A ( u n ) / u n } = ⋃ i = 1 n μ A ( u i ) / u i A=\{\mu_A(u_1)/u_1,\mu_A(u_2)/u_2,...,\mu_A(u_n)/u_n\}=\bigcup_{i=1}^{n} {\mu_A(u_i)}/{u_i} A={μA​(u1​)/u1​,μA​(u2​)/u2​,...,μA​(un​)/un​}=⋃i=1n​μA​(ui​)/ui​
4. 表示4：$A=\{[{\mu }_A(u_1),u_1],[{\mu }_A(u_2),u_2],...,[{\mu }_A(u_n),u_n]\}$

3️⃣连续论域$U$的模糊集$A=\underset{u\in U}{\int }{\mu }_A(u)/u$

4️⃣$U$上所有模糊集表示为： F ( U ) = { A ∣ μ A : U → [ 0 , 1 ] } \mathcal{F}(U) = \{\mathcal{A} | \mu_{A} : U \to [0,1]\} F(U)={A∣μA​:U→[0,1]}或 F ( U ) = { μ A ∣ μ A : U → [ 0 , 1 ] } F(U) = \{\mu_{A} | \mu_{A} : U \to [0,1]\} F(U)={μA​∣μA​:U→[0,1]}

2. 模糊集的运算

1️⃣$B$包含于$A$：$A,B\in \mathcal{F}(U),\forall u\in U,{\mu }_B(u)\le {\mu }_A(u)\to B\subseteq A$

2️⃣$A$，$B$的交并补：

1. A ∪ B : μ A ∪ B ( u ) = max ⁡ { μ A ( u ) , μ B ( u ) } = μ A ( u ) ∨ μ B ( u ) A \cup B : \mu_{A \cup B}(u) = \max\{\mu_{A}(u), \mu_{B}(u)\} = \mu_{A}(u) \vee \mu_{B}(u) A∪B:μA∪B​(u)=max{μA​(u),μB​(u)}=μA​(u)∨μB​(u)
   • 例如${\mu }_A(1)=0.3/1,{\mu }_B(u)=0.4/1$则${\mu }_{A\cup B}(1)=\text{max}(0.3,0.4)/1=0.4/1$
2. A ∩ B : μ A ∩ B ( u ) = min ⁡ { μ A ( u ) , μ B ( u ) } = μ A ( u ) ∧ μ B ( u ) A \cap B : \mu_{A \cap B}(u) = \min\{\mu_{A}(u), \mu_{B}(u)\} = \mu_{A}(u) \wedge \mu_{B}(u) A∩B:μA∩B​(u)=min{μA​(u),μB​(u)}=μA​(u)∧μB​(u)
3. $\neg A:{\mu }_{\neg A}(u)=1-{\mu }_A(u)$

3. 模糊关系

1️⃣笛卡尔乘积：了解即可

1. $A_i$是$U_i$上的模糊集
2. $A_1{A}_2...,A_n$的笛卡尔乘积：
   • $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\underset{U_1\times U_2\times \cdots \times U_n}{\int }({\mu }_{A_1}(u_1)\wedge {\mu }_{A_2}(u_2)\wedge \cdots \wedge {\mu }_{A_n}(u_n))d(u_1,u_2,\dots ,u_n)$
3. 笛卡尔乘积是$U_1\times U_2\times ...\times U_n$上的一个模糊集

2️⃣$n$元模糊关系：了解即可

1. 基于$U_1\times U_2\times ...\times U_n$论域
2. $R=\underset{U_1\times U_2\times \cdots \times U_n}{\int }{\mu }_R(u_1,u_2,...,u_n)/(u_1,u_2,\dots ,u_n)$
3. 二元模糊关系：基于$U\times V$，当二者都为有限论域时，模糊关系可表示为举证
   • 例如 U = V = { u 1 , u 2 , u 3 } U=V=\{u_1,u_2,u_3\} U=V={u1​,u2​,u3​}表示信任关系则有：
     $R=\left[\begin{array}{cccc}{\mu }_R(u_1,v_1)& {\mu }_R(u_1,v_2)& \cdots & {\mu }_R(u_1,v_n)\\ {\mu }_R(u_2,v_1)& {\mu }_R(u_2,v_2)& \cdots & {\mu }_R(u_2,v_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mu }_R(u_m,v_1)& {\mu }_R(u_m,v_2)& \cdots & {\mu }_R(u_m,v_n)\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0.3& 0.8\\ 0.9& 1& 0.6\\ 0.7& 0.5& 1\end{array}\right]$

3️⃣模糊关系的合成

1. $R_1,R_2$分别是$U\times V,V\times W$的模糊关系，其合成即为$R_1\circ R_2$
2. μ R 1 ∘ R 2 ( u , w ) = ⋁ v ∈ V { μ R 1 ( u , v ) ∧ μ R 2 ( v , w ) } \displaystyle{}\mu_{R_1 \circ R_2}(u, w) = \bigvee_{v \in V} \{ \mu_{R_1}(u, v) \wedge \mu_{R_2}(v, w) \} μR1​∘R2​​(u,w)=v∈V⋁​{μR1​​(u,v)∧μR2​​(v,w)}
3. 示例：
   

4. 模糊逻辑

1️⃣含义：含有模糊概念、模糊数据的语句

2️⃣形式：x_is_A，$A$是模糊概念(模糊集)；比如张三 is 如存在的

5. 模糊匹配

1️⃣形式：IF (x_is_A) THEN (y_is_B) ，证据和结论都用模糊命题表示，$AB$是模糊概念

2️⃣核心问题：条件的$A$与证据的$A^{\prime }$不一定完全相同，例如

IF x_is_小(知识) THEN y_is_大(结论)
x_is_微(证据)

3️⃣匹配度：计算两个模糊概念(集)之间的相似程度：计算题重灾区

1. 海明距离：$\{\begin{array}{l}d(A,B)=\frac{1}{n}\times \sum _{i=1}^n|{\mu }_A(u_i)-{\mu }_B(u_i)|\\ d(A,B)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^b|{\mu }_A(u)-{\mu }_B(u)|du\end{array}$
2. 欧几里得距离：$d(A,B)=\sqrt{\frac{1}{n}\times \sum _{i=1}^n({\mu }_A(u_i)-{\mu }_B(u_i){)}^2}$

4️⃣复合条件的模糊匹配

1. 条件：E= x1_is_A1 AND x2_is_A2 AND...AND xn_is_An
2. 证据：x1_is_A1',x2_is_A2',...,xn_is_An'，匹配度${\delta }_{match}(A_i，A_i^{\prime })i=1,2,...,n$
3. 整个条件与证据的匹配度
   • δ m a t c h ( E , E ′ ) = m i n { δ m a t c h ( A i , A i ′ ) i = 1 , 2 , . . . , n } \delta_{match}(E,E')=min\{\delta_{match}(A_i,A_i')\,i=1,2,...,n\} δmatch​(E,E′)=min{δmatch​(Ai​,Ai′​)i=1,2,...,n}
   • ${\delta }_{match}(E,E^{\prime })=\prod _{i=1}^n\delta {}_{match}(A_i,A_i^{\prime })$

6. 模糊推理的基本模式

1️⃣模糊假言推理

知识：IF  x_is_A  THEN  y_is_B
证据：    x_is_A'
结论：                  y_is_B'

2️⃣模糊拒取式推理

知识：IF  x_is_A  THEN  y_is_B
证据：                  y_is_B'
结论：    x_is_A'            

3️⃣模糊推理方法(扎德)：由IF (x_is_A) THEN (y_is_B) 求出$AB$之间的模糊关系$R$，通过$R$与相应证据合成求出模糊结论