【动态规划】斐波那契数列模型总结
一、第 N 个泰波那契数
题目链接: 第 N 个泰波那契数
题目描述:

题目分析:
1、状态表示:
dp[i] 表示:第 i 个斐波那契数的值
2、状态转移方程:
由题意可知第 i 个数等于其前三个数之和
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
3、初始化:
由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3,当 i=0、1、2的时候,就会出现-1,-2,-3这种非法的下标值,导致数组访问异常。因此,我们需要在填表前将 0,1,2 位置的值初始化。题目中也直接告诉了我们这些位置的初始值:
dp[0]=0 、 dp[1]=1 、 dp[2]=1
4、优化
其实每次在求取 dp[i] 的时候,只需要知道其前三个元素的值即可。也就是说我们在每次更新后只需要保存最后的三个数即可。通过三个数的值就能更新出下一个 dp 值。
代码实现:
class Solution {public int tribonacci(int n) {int[] dp=new int[]{0,1,1};if(n==0)return 0;if(n<3)return 1;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i%3]=dp[0]+dp[1]+dp[2];}return dp[n%3];}
}

二、三步问题
题目链接: 三步问题
题目描述:

题目分析:
1、状态表示:
2、状态转移方程:
到达第 i 级台阶的所有方法我们不好确定,但我们可以确定到达第 i 级台阶的上一步只有三种可能:
- 从 i-1置上一级台阶,且到达 i-1 位置的方法数为 dp[i-1]
- 从 i-2置上二级台阶,且到达 i-2 位置的方法数为 dp[i-2]
- 从 i-3置上三级台阶,且到达 i-3 位置的方法数为 dp[i-3]
而到达第 i 级台阶的方法数就应该为其所有上一步的方式之和:
因此dp[i]=dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
注意:由于这里计算的结果可能会很大。因此我们需要对结果进行取模。并且为了防止求和时溢出,在每次求和时都要先取模再求和
3、初始化:
由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3,当 i=0、1、2的时候,就会出现-1,-2,-3这种非法的下标值,导致数组访问异常。因此,我们需要在填表前将 0,1,2 位置的值初始化。由题意很容易就能求出这些位置的初始值:
dp[0]=1 、 dp[1]=2 、 dp[2]=4
代码实现:
class Solution {public int waysToStep(int n) {if(n==1||n==2)return n;if(n==3)return 4;int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=4;int MOD=(int)1e9+7;for(int i=4;i<=n;i++){dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MOD+dp[i-3])%MOD;}return dp[n];}
}

三、 使用最小花费爬楼梯
题目链接:使用最小花费爬楼梯
题目描述:

题目分析:
1、状态表示:
2、状态转移方程:
- 先到达 i - 1 的位置,然后⽀付 cost[i - 1] ,接下来⾛⼀步⾛到 i 位置:
dp[i - 1] + csot[i - 1]
- 先到达 i - 2 的位置,然后⽀付 cost[i - 2] ,接下来⾛⼀步⾛到 i 位置:
dp[i - 2] + csot[i - 2]
我们每次只需要取两种情况的最小值即可。
因此:dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
3、初始化:
很明显 i=0 或 i=1时是无法使用递推公式的。因此我们需要先把他们给初始化了。
由题意可得 dp[0] = dp[1] = 0 ,因为可以直接选择从第0级或第1级台阶开始爬楼梯,不需要任何花费。
代码实现:
class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int n=cost.length;int[] dp=new int[n+1];for(int i=2;i<=n;i++){dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[n];}
}

四、解码方法
题目链接: 解码方法
题目描述:

题目分析:
1、状态表示:
2、状态转移方程:
- 让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟;
- 让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合,解码成⼀个字⺟。
- 解码成功:当 i 位置上的数在 [1, 9] 之间的时候,说明 i 位置上的数是可以单独解码的,那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法应该等于 [0, i - 1] 区间上的解码⽅法。因为 [0, i - 1] 区间上的所有解码结果,后⾯填上⼀个 i 位置解码后的字⺟就可以了。此时 dp[i] = dp[i - 1] ;
- 解码失败:当 i 位置上的数是 0 的时候,说明 i 位置上的数是不能单独解码的,那么此时 [0, i] 区间上不存在解码⽅法。因为 i 位置如果单独参与解码,但是解码失败了,那么前⾯做的努⼒就全部⽩费了。此时 dp[i] = 0 。
- 解码成功:当结合的数在 [10, 26] 之间的时候,说明 [i - 1, i] 两个位置是可以解码成功的,那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法应该等于 [0, i - 2 ] 区间上的解码⽅法,原因同上。此时 dp[i] = dp[i - 2]
- 解码失败:当结合的数在 [0, 9] 和 [27 , 99] 之间的时候,说明两个位置结合后解码失败(这⾥⼀定要注意 00 01 02 03 04 ...... 这⼏种情况),那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法就不存在了,原因依旧同上。此时 dp[i] = 0 。
- 当 s[i] 上的数在 [1, 9] 区间上时: dp[i] += dp[i - 1]
- 当 s[i - 1] 与 s[i] 上的数结合后,在 [10, 26] 之间的时候: dp[i] += dp[i - 2]
- 如果上述两个判断都不成⽴,说明没有解码⽅法, dp[i] 就是默认值 0 。
3、初始化:
代码实现:
class Solution {public int numDecodings(String s) {char[] cs=s.toCharArray();int n=s.length();if(cs[0]-'0'==0)return 0;int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[0]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(cs[i-1]-'0'!=0)dp[i]=dp[i-1];if(cs[i-2]-'0'==0)continue;int x=(cs[i-2]-'0')*10+cs[i-1]-'0';if(x<=26){dp[i]+=dp[i-2];}}return dp[n];}
}

那么本篇文章就到此为止了,如果觉得这篇文章对你有帮助的话,可以点一下关注和点赞来支持作者哦。如果有什么讲的不对的地方欢迎在评论区指出,希望能够和你们一起进步✊

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