【动态规划】斐波那契数列模型总结

一、第 N 个泰波那契数

题目链接： 第 N 个泰波那契数

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表示：第 i 个斐波那契数的值

2、状态转移方程：

由题意可知第 i 个数等于其前三个数之和

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

3、初始化：

由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3，当 i=0、1、2的时候，就会出现-1，-2，-3这种非法的下标值，导致数组访问异常。因此，我们需要在填表前将 0,1,2 位置的值初始化。题目中也直接告诉了我们这些位置的初始值：

dp[0]=0 、 dp[1]=1 、 dp[2]=1

4、优化

其实每次在求取 dp[i] 的时候，只需要知道其前三个元素的值即可。也就是说我们在每次更新后只需要保存最后的三个数即可。通过三个数的值就能更新出下一个 dp 值。

代码实现：

class Solution {public int tribonacci(int n) {int[] dp=new int[]{0,1,1};if(n==0)return 0;if(n<3)return 1;for(int i=3;i<=n;i++){dp[i%3]=dp[0]+dp[1]+dp[2];}return dp[n%3];}
}

二、三步问题

题目链接： 三步问题

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表⽰：到达 i 位置时，⼀共有多少种⽅法。

2、状态转移方程：

到达第 i 级台阶的所有方法我们不好确定，但我们可以确定到达第 i 级台阶的上一步只有三种可能：

• 从 i-1置上一级台阶，且到达 i-1 位置的方法数为 dp[i-1]
• 从 i-2置上二级台阶，且到达 i-2 位置的方法数为 dp[i-2]
• 从 i-3置上三级台阶，且到达 i-3 位置的方法数为 dp[i-3]

而到达第 i 级台阶的方法数就应该为其所有上一步的方式之和：

因此dp[i]=dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

注意：由于这里计算的结果可能会很大。因此我们需要对结果进行取模。并且为了防止求和时溢出，在每次求和时都要先取模再求和

3、初始化：

由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3，当 i=0、1、2的时候，就会出现-1，-2，-3这种非法的下标值，导致数组访问异常。因此，我们需要在填表前将 0,1,2 位置的值初始化。由题意很容易就能求出这些位置的初始值：

dp[0]=1 、 dp[1]=2 、 dp[2]=4

代码实现：

class Solution {public int waysToStep(int n) {if(n==1||n==2)return n;if(n==3)return 4;int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[2]=2;dp[3]=4;int MOD=(int)1e9+7;for(int i=4;i<=n;i++){dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MOD+dp[i-3])%MOD;}return dp[n];}
}

三、 使用最小花费爬楼梯

题目链接：使用最小花费爬楼梯

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表⽰：到达 i 位置时的最⼩花费。

2、状态转移方程：

根据最近的⼀步，分情况讨论：

• 先到达 i - 1 的位置，然后⽀付 cost[i - 1] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置：

        dp[i - 1] + csot[i - 1] 

• 先到达 i - 2 的位置，然后⽀付 cost[i - 2] ，接下来⾛⼀步⾛到 i 位置：

        dp[i - 2] + csot[i - 2] 

我们每次只需要取两种情况的最小值即可。

因此：dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])

3、初始化：

很明显 i=0 或 i=1时是无法使用递推公式的。因此我们需要先把他们给初始化了。

由题意可得 dp[0] = dp[1] = 0 ，因为可以直接选择从第0级或第1级台阶开始爬楼梯，不需要任何花费。

代码实现：

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int n=cost.length;int[] dp=new int[n+1];for(int i=2;i<=n;i++){dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);}return dp[n];}
}

四、解码方法

题目链接： 解码方法

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表⽰：字符串中 [0 ， i] 区间上，⼀共有多少种编码⽅法。

2、状态转移方程：

关于 i 位置的编码状况，我们可以分为下⾯两种情况：

• 让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟；
• 让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合，解码成⼀个字⺟。

下⾯我们就上⾯的两种解码情况，继续分析：

让 i 位置上的数单独解码成⼀个字⺟，就存在两种情况：

• 解码成功：当 i 位置上的数在 [1, 9] 之间的时候，说明 i 位置上的数是可以单独解码的，那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法应该等于 [0, i - 1] 区间上的解码⽅法。因为 [0, i - 1] 区间上的所有解码结果，后⾯填上⼀个 i 位置解码后的字⺟就可以了。此时 dp[i] = dp[i - 1] ；
• 解码失败：当 i 位置上的数是 0 的时候，说明 i 位置上的数是不能单独解码的，那么此时 [0, i] 区间上不存在解码⽅法。因为 i 位置如果单独参与解码，但是解码失败了，那么前⾯做的努⼒就全部⽩费了。此时 dp[i] = 0 。

让 i 位置上的数与 i - 1 位置上的数结合在⼀起，解码成⼀个字⺟，也存在两种情况：

• 解码成功：当结合的数在 [10, 26] 之间的时候，说明 [i - 1, i] 两个位置是可以解码成功的，那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法应该等于 [0, i - 2 ] 区间上的解码⽅法，原因同上。此时 dp[i] = dp[i - 2] 
• 解码失败：当结合的数在 [0, 9] 和 [27 , 99] 之间的时候，说明两个位置结合后解码失败（这⾥⼀定要注意 00 01 02 03 04 ...... 这⼏种情况），那么此时 [0, i] 区间上的解码⽅法就不存在了，原因依旧同上。此时 dp[i] = 0 。

综上所述： dp[i] 最终的结果应该是上⾯四种情况下，解码成功的两种的累加和，因此可以得到状态转移⽅程 ：

• 当 s[i] 上的数在 [1, 9] 区间上时： dp[i] += dp[i - 1] 
• 当 s[i - 1] 与 s[i] 上的数结合后，在 [10, 26] 之间的时候： dp[i] += dp[i - 2] 
• 如果上述两个判断都不成⽴，说明没有解码⽅法， dp[i] 就是默认值 0 。

3、初始化：

可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。这时 dp[i] 就表示 [0 ， i] 区间上的编码数。这里当前两个数能成功解码时，dp[2]就应该要加上 dp[0] 的值，因此我们需要让 dp[0] 初始化为 1。 

代码实现：

class Solution {public int numDecodings(String s) {char[] cs=s.toCharArray();int n=s.length();if(cs[0]-'0'==0)return 0;int[] dp=new int[n+1];dp[1]=1;dp[0]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(cs[i-1]-'0'!=0)dp[i]=dp[i-1];if(cs[i-2]-'0'==0)continue;int x=(cs[i-2]-'0')*10+cs[i-1]-'0';if(x<=26){dp[i]+=dp[i-2];}}return dp[n];}
}

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