【复平面】-复数相乘的几何性质

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首先说结论：

在复平面中，两个复数（即向量）相乘时，满足模长相乘，角度相加的性质。

从数学上证明

假设两个复数 ( $z_1$ ) 和 ($z_2$ ) 表示为：

$$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$$
$$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$$

其中：

• ($r_1=|z_1|$ ) 和 ( $r_2=|z_2|$ ) 分别是 ( $z_1$ ) 和 ( $z_2$ ) 的模长，
• ( ${\theta }_1$ ) 和 ( ${\theta }_2$ ) 分别是 ( $z_1$ ) 和 ( $z_2$ ) 的辐角（即相对于实轴的角度）。

1. 计算乘积 $z_1\cdot z_2$

我们将 ( $z_1$ ) 和 ( $z_2$ ) 相乘，得到：

$$z_1\cdot z_2=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\cdot r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$$

使用分配律展开：

$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2\left[(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)+i(\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2)\right]$$

2. 应用三角恒等式

根据加法公式的三角恒等式，有：

$$\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2$$

$$\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)=\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2$$

将这些恒等式代入到上面的表达式中，我们得到：

$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2\left(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right)$$

3. 得出结果

根据复数的极坐标形式，这个结果可以写成：

$$z_1\cdot z_2=r_1{r}_2\cdot e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$
因此，我们得出结论：两个复数相乘时，其模长是各自模长的乘积，辐角是各自辐角的和，即满足“模长相乘，角度相加”的性质。

从几何角度证明

本质上就是坐标轴的变换

1.给出待乘的复数 $u_i$

$$\{\begin{array}{l}u=a+bi\\ ui=-b+ai\end{array}$$

$$(a,b)\cdot (-b,a)=0$$由于内积为0，故u与ui正交

2.给出任意复数 $l$

所以$\forall l=x+y_i$与u相乘可以在新的坐标轴u、ui下表示，其与坐标轴角度与在原先坐标轴下相同。
所以两个复数（即向量）相乘时，满足角度相加的性质。
$$\{\begin{array}{l}\forall l=x+y_i\\ l\cdot u=\left(x+y_i\right)\cdot u=xu+yui\end{array}$$

3.复数 $l$ 在不同坐标轴下的表示图