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2021数学分析【南昌大学】

2021 数学分析

  1. 求极限

    lim ⁡ n → ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + n ) n \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt [n]{(n+1)(n+2) \cdots (n+n)} nlimn1n(n+1)(n+2)(n+n)

lim ⁡ n → ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + n ) n = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + n ) n m n = lim ⁡ n → ∞ e 1 n ∑ k = 1 n ln ⁡ ( 1 + k n ) = e ∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) d x = e 2 l n 2 − 1 \begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sqrt [n]{{(n + 1)(n + 2) \cdots (n + n)}} &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt [n]{{\frac{{(n + 1)(n + 2) \cdots (n + n)}}{{n^m}}}} \\ &= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } e^{\frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^n \ln\left( 1 + \frac{k}{n} \right)} \\ &= e^{\int_0^1 \ln\left( 1 + x \right) dx} \\ &= e^{2ln2-1} \\ \end{align*} nlimn1n(n+1)(n+2)(n+n) =nlimnnm(n+1)(n+2)(n+n) =nlimen1k=1nln(1+nk)=e01ln(1+x)dx=e2ln21

  1. a , b a, b a,b 的值,使得

    lim ⁡ x → 0 1 b x − sin ⁡ x ∫ 0 x t 2 a + t 2   d t = 1. \lim_{x \to 0} \frac{1}{bx - \sin x} \int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a + t^2}} \, dt = 1. x0limbxsinx10xa+t2 t2dt=1.

lim ⁡ x → 0 ∫ 0 x t 2 a + t 2   d t b x − sin ⁡ x = lim ⁡ x → 0 x 2 ( b − cos ⁡ x ) a + x 2 = lim ⁡ x → 0 x 2 ( b − 1 + 1 2 x 2 + o ( x 2 ) ) ( a + 1 2 a x 2 + o ( x 2 ) ) = lim ⁡ x → 0 x 2 ( ( b − 1 ) a + 1 2 ( a + b − 1 a ) x 2 + o ( x 2 ) ) = 1 \begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a + t^2}} \, dt}{bx - \sin x} &= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\left( b - \cos x \right) \sqrt{a + x^2}} \\ &= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\left( b - 1 + \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) \right)\left( \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}x^2 + o(x^2) \right)} \\ &= \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\left( \left( b - 1 \right)\sqrt{a} + \frac{1}{2}\left( \sqrt{a} + \frac{b - 1}{\sqrt{a}} \right)x^2 + o(x^2) \right)} \\ &= 1 \end{aligned} x0limbxsinx0xa+t2 t2dt=x0lim(bcosx)a+x2 x2=x0lim(b1+21x2+o(x2))(a +2a 1x2+o(x2))x2=x0lim((b1)a +21(a +a b1)x2+o(x2))x2=1

a ≠ 0 a\ne0 a=0

解得 ( b − 1 ) a = 0 (b-1)\sqrt{a}=0 (b1)a =0 ,且 1 2 ( a + b − 1 a ) = 1 \frac{1}{2}\left( \sqrt{a} + \frac{b - 1}{\sqrt{a}} \right)=1 21(a +a b1)=1

b = 1 b=1 b=1 a = 4 a=4 a=4

a = 0 a=0 a=0,极限不成立

在这里插入图片描述

  1. 用定义法证明 y = x 2 y = x^2 y=x2 ( − 1 , 2 ) (-1, 2) (1,2) 上一致连续,在 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) (0,+) 上不一致连续。

任取 x 1 , x 2 ∈ ( − 1 , 2 ) x_1,x_2 \in(-1,2) x1,x2(1,2),要使不等式
∣ x 2 2 − x 1 2 ∣ = ∣ x 2 − x 1 ∣ ∣ x 2 + x 1 ∣ ≤ 4 ∣ x 2 − x 1 ∣ < ε \left| x_2^2 - x_1^2 \right| = \left| x_2 - x_1 \right| \left| x_2 + x_1 \right| \leq 4\left| x_2 - x_1 \right| < \varepsilon x22x12 =x2x1x2+x14x2x1<ε
成立,解得 ∣ x 2 − x 1 ∣ < ε 4 \left| x_2 - x_1 \right| < \frac{\varepsilon}{4} x2x1<4ε,取 δ 1 = ε 4 \delta_1= \frac{\varepsilon}{4} δ1=4ε

∀ x 1 , x 2 ∈ ( − 1 , 2 ) \forall x_1,x_2 \in(-1,2) x1,x2(1,2),当 ∣ x 2 − x 1 ∣ < δ 1 \left| x_2 - x_1 \right| <\delta_1 x2x1<δ1,有 ∣ x 2 2 − x 1 2 ∣ < ε \left| x_2^2 - x_1^2 \right| < \varepsilon x22x12 <ε,故在 ( − 1 , 2 ) (-1, 2) (1,2) 上一致连续

x n = n x_n=\sqrt n xn=n y n = n + 1 y_n=\sqrt {n+1} yn=n+1
lim ⁡ n → ∞ ( y n − x n ) = lim ⁡ n → ∞ ( n + 1 − n ) = lim ⁡ n → ∞ 1 n + 1 + n = 0 \begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty} (y_n - x_n) &= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) \\ &= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\ &= 0 \end{aligned} nlim(y

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