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数字信号处理-数学基础

来源哪都有,个人复习使用

一 积分

常用积分公式:

在这里插入图片描述

基本积分方法

凑微分法(也称第一换元法):
在这里插入图片描述
换元:在这里插入图片描述
分部积分:
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卷积

在这里插入图片描述
这里有动图解释:
https://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

欧拉公式

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} eix=cosx+isinx
因此可以推导出:

sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} sinx=2ieixeix

cos ⁡ x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} cosx=2eix+eix

傅里叶变换

来自:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/5152084.html

https://cloud.tencent.com/developer/article/2066940
在这里插入图片描述

一维变换:
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t \displaystyle{ \mathcal{F}f(s) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt } Ff(s)=e2πistf(t)dt
二维傅里叶变换里面,变量 s , t s,t s,t都变成了如下二维变量

空间变量(spatial variable)

x ‾ = ( x 1 , x 2 ) \underline{x} = (x_1,x_2) x=(x1,x2)

频率变量

ξ ‾ = ( ξ 1 , ξ 2 ) \underline{\xi} = (\xi_1,\xi_2) ξ=(ξ1,ξ2)

逆变换

在这里插入图片描述

离散情况

DFT:
在这里插入图片描述
IDFT:
在这里插入图片描述
N称为DFT变换区间长度

常用变换

来自:https://blog.csdn.net/Varalpha/article/details/104964650

在这里插入图片描述
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常用z变换

性质

在这里插入图片描述

常用z变换

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系统稳定性:

𝐻(𝑧)判断系统的稳定性2种方法:

  1. 𝐻(𝑧)的收敛域包含单位圆则系统稳定
  2. 因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定

参考:https://www.lamda.nju.edu.cn/wangw/dsp2022/slides/10.pdf

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