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主导极点,传递函数零极点与时域模态

运动模态

  控制系统的数学建模,可以采用微分方程或传递函数,两者具有相同的特征方程。在数学上,微分方程的解由特解和通解组成,具体求解过程可以参考:微分方程求解的三种解析方法。

  如果 n n n阶微分方程,具有 n n n个互不相等的单重特征根 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n λ1,λ2,...,λn,则称 e λ 1 t , e λ 2 t , . . . , e λ n t {e^{{\lambda _1}t}},{e^{{\lambda _2}t}},...,{e^{{\lambda _n}t}} eλ1t,eλ2t,...,eλnt为该系统的模态,也叫振型。每一种模态表示一种类型的运动形态,微分方程的齐次解为它们的线性组合,即
y ( t ) = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + . . . + c n e λ n t y\left( t \right) = {c_1}{e^{{\lambda _1}t}} + {c_2}{e^{{\lambda _2}t}} + ... + {c_n}{e^{{\lambda _n}t}} y(t)=c1eλ1t+c2eλ2t+...+cneλnt

  对于其它类型的特征根类型,所对应的齐次解或模态表达式,如下所示:
在这里插入图片描述

极点与模态类型

  相同权重下,对比不同模态所对应的冲击响应,结果如下。取传递函数为 1 s + 1 \frac{1}{s+1} s+11 1 s + 10 \frac{1}{s+10} s+101 1 s + 100 \frac{1}{s+100} s+1001,对应模态为 e − t e^{-t} et e − 10 t e^{-10t} e10t e − 100 t e^{-100t} e100t。所谓权重,指的是模态前的系数(这里均为1)。
在这里插入图片描述

clc;clear;close all;sys1 = tf(1, [1 1]);   sys2 = tf(1, [1 10]);  sys3 = tf(1, [1 100]);  t = 0:0.01:10;
[y1, t1] = impulse(sys1, t);  [y2, t2] = impulse(sys2, t);  [y3, t3] = impulse(sys3, t);figure;  hold on;
plot(t1, y1, 'b', 'LineWidth', 1.5); % 蓝色线表示1/(s+1)
plot(t2, y2, 'r', 'LineWidth', 1.5); % 红色线表示1/(s+10)
plot(t3, y3, 'g', 'LineWidth', 1.5); % 绿色线表示1/(s+100)legend('1/(s+1)', '1/(s+10)', '1/(s+100)');
xlabel('Time (s)');ylabel('Impulse Response');grid on;

  总结:同等权重情况下,负实部越远离零轴,模态衰减越快;负实部越靠近零轴,模态衰减越慢;

零点与模态权重

  将两种模态( e − t e^{-t} et e − 10 t e^{-10t} e10t)进行等比例混合,结果如下:
G ( s ) = 0.5 s + 1 + 0.5 s + 10 = s + 5.5 ( s + 1 ) ( s + 10 ) G\left( s \right) = \frac{{0.5}}{{s + 1}} + \frac{{0.5}}{{s + 10}} = \frac{{s + 5.5}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 10} \right)}} G(s)=s+10.5+s+100.5=(s+1)(s+10)s+5.5
  可以看到,混合的过程产生了一个特定的零点。也就是说,零点不引入新的模态,但却与各模态的相对权重有关。更一般地,假设零点为 − z -z z,分析权重 α 、 β \alpha、\beta αβ z z z的变化规律,如下所示:
G ( s ) = s + z ( s + 1 ) ( s + 10 ) = α s + 1 + β s + 10 = 1 9 z − 1 9 s + 1 + 10 9 − 1 9 z s + 10 {G\left( s \right) = \frac{{s + z}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 10} \right)}} = \frac{\alpha }{{s + 1}} + \frac{\beta }{{s + 10}} = \frac{{\frac{1}{9}z - \frac{1}{9}}}{{s + 1}} + \frac{{\frac{{10}}{9} - \frac{1}{9}z}}{{s + 10}}} G(s)=(s+1)(s+10)s+z=s+1α+s+10β=s+191z91+s+1091091z
在这里插入图片描述

clc;clear;close all;
z = 0:0.5:11;  alpha = (1/9) * z - (1/9);  beta = (10/9) - (1/9) * z;figure;  hold on; 
plot(z, alpha, '-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '\alpha');
plot(z, beta, '-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '\beta');title('Comparison of \alpha and \beta vs. z');  legend('\alpha', '\beta');  grid on;
xlabel('零点位置');  ylabel('相对权重');  xticks([0,1,5.5,10]);  yticks([0,0.5,1]);  

  总结:零点不引入模态,但却影响模态权重;当极点附近有零点时,对应模态权重明显下降,重叠时甚至会被对消;

输入与最终模态

  最终响应模态不仅与系统固有传函有关,还与输入有关。假设系统传递函数为:
G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 6 ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) G\left( s \right) = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{6\left( {s + 3} \right)}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}} G(s)=R(s)C(s)=(s+1)(s+2)6(s+3)
  系统包含 e − t e^{-t} et e − 2 t e^{-2t} e2t两个运动模态。当输入为 r ( t ) = R 1 + R 2 e − 5 t r\left( t \right) = {R_1} + {R_2}{e^{ - 5t}} r(t)=R1+R2e5t时,系统最终零状态响应为:
{ c ( t ) = L − 1 [ C ( s ) ] = L − 1 [ 6 ( s + 3 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( R 1 s + R 2 s + 5 ) ] = 9 R 1 − R 2 e − 5 t + ( 3 R 2 − 12 R 1 ) e − t + ( 3 R 1 − 2 R 2 ) e − 2 t \left\{ \begin{aligned} c\left( t \right) &= {\mathcal{L}^{ - 1}}\left[ {C\left( s \right)} \right] = {\mathcal{L}^{ - 1}}\left[ {\frac{{6\left( {s + 3} \right)}}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s + 2} \right)}}\left( {\frac{{{R_1}}}{s} + \frac{{{R_2}}}{{s + 5}}} \right)} \right] \\ &= 9{R_1} - {R_2}{e^{ - 5t}} + \left( {3{R_2} - 12{R_1}} \right){e^{ - t}} + \left( {3{R_1} - 2{R_2}} \right){e^{ - 2t}} \\ \end{aligned} \right. c(t)=L1[C(s)]=L1[(s+1)(s+2)6(s+3)(sR1+s+5R2)]=9R1R2e5t+(3R212R1)et+(3R12R2)e2t

其中,前两项具有与输入函数 r ( t ) r(t) r(t)相同的模态;后两项则包含了由系统固有极点形成的模态。

总结

  • 同等权重情况下,负实部越远离零轴,模态衰减越快;负实部越靠近零轴,模态衰减越慢;
  • 零点不引入模态,但却影响模态权重;当极点附近有零点时,对应模态权重明显下降;
  • 最终模态类型与系统极点和输入极点有关;模态权重与系统零点和输入零点有关(严格来说,极点与初始值也会影响权重);
  • 当闭环极点同时满足,①靠近零轴,②附近无零点;它将能够在较长时域内决定整体曲线走势,也被称为主导极点

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理 (第六版) [M]. 科学出版社, 2013.
[2] 余成波. 信号与系统 (第二版) [M]. 清华大学出版社, 2007.
[3] CSDN博客:微分方程求解的三种解析方法和Matlab实现:经典时域法(齐次解+特解,零状态+零输入),冲激响应卷积法、传递函数法。

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