求解球面的一组正交标架

求解球面的一组正交标架

球面$\mathbf{r}(u,v)=\left(a\cos u\cos v,a\cos u\sin v,a\sin u\right)$,

求得

$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_u=(-a\sin u\cos v,-a\sin u\sin v,a\cos u) \\ {\mathbf{r}}_v=(-a\cos u\sin v,a\cos u\cos v,0) \end{gathered}$$

计算得

$$E=a^2,F=0,G=a^2{\cos }^{2}u$$

于是选取

$${\mathbf{e}}_1=\frac{1}{a}{\mathbf{r}}_u=(-\sin u\cos v,-\sin u\sin v,\cos u)$$
$${\mathbf{e}}_2=\frac{1}{a\cos u}{\mathbf{r}}_v=(-\sin v,\cos v,0)$$

求其外积为

$${\mathbf{e}}_3=\mathbf{n}=(-\cos u\cos v,-\cos u\sin v,-\sin u)$$

这就找到了球面的一组正交活动标架。