【C++】B2069 求分数序列和题目解析与优化详解

---

博客主页： [小ᶻ☡꙳ᵃⁱᵍᶜ꙳] 本文专栏: C++

---

---

---

💯前言

• 本篇文章将详细解析洛谷B2069题“求分数列和”的解题过程，包括题目的详细描述、解题思路、不同代码实现方案的比较与优化，以及对相关概念的深入拓展。文章的目标是帮助读者全面掌握此类题目的解法，并提升在C++编程中的逻辑分析与代码优化能力。
  C++ 参考手册
  

💯题目描述

B2069 求分数序列和

有一个分数序列：

$\frac{q_1}{p_1},\frac{q_2}{p_2},\frac{q_3}{p_3},\frac{q_4}{p_4},\cdots$

其中，满足递推关系：

• $q_{i+1}=q_i+p_i$
• $p_{i+1}=q_i$
• 初始值 $q_1=2$, $p_1=1$。

例如，前6项依次为：
$\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\frac{21}{13}$

任务是计算分数序列前 $n$ 项的和。结果保留4位小数。

输入格式

输入一行包含一个正整数 $n$（$n\le 30$）。

输出格式

输出一行浮点数，表示分数序列前 $n$ 项之和，精确到小数点后4位。

输入输出样例

输入：

2

输出：

3.5000

---

💯解题思路

分析题目

1. 递推关系：

   • 序列的分子和分母满足递推关系：
     $q_{i+1}=q_i+p_i$
     $p_{i+1}=q_i$
   • 初始条件为 $q_1=2$, $p_1=1$。

2. 目标：

   • 计算前 $n$ 项的分数和：
     $\text{sum}=\frac{q_1}{p_1}+\frac{q_2}{p_2}+\cdots +\frac{q_n}{p_n}$

3. 数据范围：

   • $n\le 30$，意味着序列递推和累加的规模较小，可以采用简单的迭代方式解决。

4. 精度要求：

   • 输出结果保留小数点后4位。

---

解题步骤

1. 初始化变量：

   • 定义两个变量分别表示分子 $q$ 和分母 $p$。
   • 定义一个变量 $sum$ 用于累加结果。

2. 递推计算：

   • 根据公式更新 $q$ 和 $p$。
   • 累加当前项的分数值：$\frac{q}{p}$。

3. 输出结果：

   • 使用浮点数输出，保留小数点后4位。

---

💯代码实现

我的代码实现

以下是我的代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;int main() {double sum = 0; // 累加和，双精度浮点数int n = 0, temp = 0;int z = 2, m = 1; // 初始化分子和分母cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {sum += z * 1.0 / m; // 累加当前项temp = z;           // 暂存当前分子z = z + m;          // 计算新的分子m = temp;           // 更新分母为旧的分子}printf("%.4lf", sum); // 输出结果，保留 4 位小数return 0;
}

实现特点

1. 变量设计：

   • 使用 z 表示当前分子，m 表示当前分母。
   • 使用 temp 保存中间变量，避免覆盖数据。

2. 核心递推逻辑：

   • $q_{i+1}=q_i+p_i$ 用 z = z + m 实现。
   • $p_{i+1}=q_i$ 用 m = temp 实现。

3. 浮点数计算：

   • 显式将 z / m 转换为浮点数计算，确保精度。

4. 结果输出：

   • 使用 printf 保留4位小数。

---

老师的代码实现

以下是老师给出的代码实现：

#include <iostream>
#include <cstdio> // 用于 printf
using namespace std;int main() {int n = 0;cin >> n;float sum = 0; // 累加和，浮点类型float q = 2;   // 初始化分子 qfloat p = 1;   // 初始化分母 pfor (int i = 0; i < n; i++) {sum += q / p; // 累加当前项q = q + p;    // 计算新的 qp = q - p;    // 计算新的 p}printf("%.4f\n", sum); // 输出结果，保留 4 位小数return 0;
}

实现特点

1. 变量优化：

   • 直接使用 float 类型计算，避免临时变量。

2. 核心递推逻辑：

   • 使用 q = q + p 和 p = q - p 通过数学公式简化更新。

3. 结果输出：

   • 同样使用 printf 保留4位小数。

优点

1. 代码简洁：

   • 变量数量少，通过数学公式避免了中间变量。

2. 逻辑紧凑：

   • 更新 p 的方式非常简练，体现了数学上的优化。

缺点

1. 可读性较差：

   • p = q - p 的逻辑不够直观，对初学者不够友好。

2. 精度问题：

   • 使用 float 类型可能导致精度不足。

---

💯对比分析

对比点	我的代码	老师的代码
变量数量	多一个临时变量 temp	仅用两个变量 q 和 p
代码可读性	逻辑清晰，易于理解	数学简化逻辑不直观
浮点精度	使用 double，精度更高	使用 float，精度稍低
内存使用	稍高，多用了一个变量	更低，只用了必要的变量
实现复杂度	适中，易于实现和调试	较低，但对理解有一定要求

---

💯优化方案

结合两者的优点，我们可以进一步优化代码：

#include <iostream>
#include <iomanip> // 用于控制输出精度
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;double sum = 0.0; // 使用 double 提高精度int q = 2, p = 1; // 分子和分母初始化for (int i = 0; i < n; i++) {sum += static_cast<double>(q) / p; // 显式类型转换q = q + p; // 直接更新分子p = q - p; // 通过差值更新分母}cout << fixed << setprecision(4) << sum << endl; // 使用现代化流输出return 0;
}

改进点

1. 精度提升：

   • 使用 double 类型以提高浮点运算的精度。

2. 代码简化：

   • 去掉了临时变量，简化逻辑。

3. 现代化风格：

   • 使用 cout 和 setprecision 替代 printf，更符合 C++ 标准。

---

💯小结

本题主要考察递推关系的理解与实现能力，同时对浮点数精度控制和代码优化提出了要求。在解题过程中，我们需要：

1. 明确数列的递推关系。
2. 合理设计变量以实现递推计算。
3. 结合题目需求选择合适的浮点类型与输出方式。

通过对不同代码实现方案的比较与优化，我们不仅学会了更高效的解题方法，还理解了代码设计中的权衡取舍。希望本文能为读者提供帮助，在未来的编程学习中取得更大的进步！

---

---