《机器学习》从入门到实战——逻辑回归

目录

一、简介

二、逻辑回归的原理

1、线性回归部分

2、逻辑函数（Sigmoid函数）

3、分类决策

 4、转换为概率的形式使用似然函数求解

5、对数似然函数

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6、转换为梯度下降任务

三、逻辑回归拓展知识

1、数据标准化

（1）、0~1标准化

（2）、Z标准化 

2、 交叉验证

K折交叉验证

3、过拟合、欠拟合

（1）、过拟合

（2）、欠拟合

4、正则化惩罚

5、混淆矩阵

四、总结

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一、简介

机器学习中的逻辑回归是一种广泛使用的分类算法，尤其适用于二分类问题（也可以扩展到多分类问题）。它的核心思想是通过线性回归模型预测概率，然后使用逻辑函数（如 Sigmoid 函数）将概率映射到分类标签。

二、逻辑回归的原理

逻辑回归是在线性回归的基础上使得线性函数映射Sigmoid函数上从而达到分类的效果。

1、线性回归部分

 使用线性方程计算输入特征的加权和：

其中：

• w0,w1,…,wnw0​,w1​,…,wn​ 是模型参数（权重）。

• x1,x2,…,xnx1​,x2​,…,xn​ 是输入特征。

2、逻辑函数（Sigmoid函数）

将线性回归的结果 zz 映射到 [0, 1] 之间的概率值：

其中：

• P(y=1∣x)P(y=1∣x) 是样本属于类别 1 的概率。

• Sigmoid 函数的输出值越接近 1，表示样本属于类别 1 的概率越大。

3、分类决策

根据概率值进行预测：

整合：

 4、转换为概率的形式使用似然函数求解

5、对数似然函数

6、转换为梯度下降任务

求偏导

参数更新

三、逻辑回归拓展知识

1、数据标准化

（1）、0~1标准化

也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果映射到[0,1]区间。

min(x)、max(x)分别代表样本的最小值和最大值。 

（2）、Z标准化 

这种方法基于原始数据的均值(mean)和标准差(stand ard deviation)进行数据的标准化。将A的原始值x使用z- score标准化到x'。

s为样本的标准差 。

2、 交叉验证

K折交叉验证

3、过拟合、欠拟合

（1）、过拟合

• 定义：模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现较差。

• 原因：

  • 模型过于复杂（例如，参数过多）。

  • 训练数据过少或噪声过多。

• 解决方法：

  • 增加训练数据。

  • 降低模型复杂度

  • 减少特征、使用正则化

（2）、欠拟合

• 定义：模型在训练集和测试集上表现都不好。

• 原因：

  • 模型过于简单（例如，特征不足）。

  • 训练时间不足。

• 解决方法：

  • 增加特征或使用更复杂的模型。

  • 增加训练时间。

4、正则化惩罚

正则化是一种防止过拟合的技术，通过在损失函数中添加惩罚项来限制模型参数的大小。

 损失函数：

 正则化惩罚：

 正则化惩罚种类

5、混淆矩阵

混淆矩阵（Confusion Matrix）是用于评估分类模型性能的一种表格，特别适用于二分类和多分类问题。它展示了模型预测结果与真实标签之间的对比情况，帮助我们直观地分析分类模型的准确性、错误类型等。

对于二分类

• 真正例 (True Positive, TP)：模型正确预测为正类的样本。

• 假正例 (False Positive, FP)：模型错误预测为正类的样本（实际为负类）。

• 假反例 (False Negative, FN)：模型错误预测为负类的样本（实际为正类）。

• 真反例 (True Negative, TN)：模型正确预测为负类的样本。

 计算公式

• 召回率（Recall）是分类模型评估中的一个重要指标，主要用于衡量模型在识别正类样本（即实际为正类的样本）时的表现。它反映了模型将正类样本正确分类的能力。
• 特异度（Specificity）是分类模型评估中的一个重要指标，主要用于衡量模型在识别负类样本（即实际为负类的样本）时的表现。它反映了模型将负类样本正确分类的能力。
• F1 分数（F1 Score）是分类模型评估中的一个重要指标，用于综合衡量模型的精确率（Precision）和召回率（Recall）。它是精确率和召回率的调和平均值，旨在平衡两者，特别适用于正负样本分布不均衡的场景。 

四、总结

逻辑回归是一种简单但强大的分类算法，适用于线性可分或近似线性可分的数据。通过标准化、正则化和交叉验证等技术，可以进一步提升其性能。尽管逻辑回归对非线性数据的拟合能力有限，但在许多实际应用中仍然表现出色。