小波与傅里叶变换在去噪效果上的对比分析-附Matlab源程序

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摘要

噪声的普遍存在使得信号去噪成为信号处理领域中永恒的话题。含有噪声的信号不利于信号的传递、接收、分析和处理，因此在信号预处理时对于噪声加以消除和减少以便最大程度的提取有用信号，是非常必要、也是相当重要的。

传统的信号去噪方法有纯时域法、纯频域法等，但是这些方法在应用中都有其难以克服的局限性。小波分析是最近发展起来的新方法，由于在时域和频域，都具有很好的局部化特性，它被广泛应用于信号处理领域，并迅速成为一个研究的热点。
本博文对小波与傅里叶变换在去噪效果上的对比分析，并附Matlab仿真源程序

一、引言

传统的信号处理方法是建立在傅里叶变换基础上的，但是Gabor很早就发现了傅里叶变换的不足。主要表现在以下几个方面：

（1）傅里叶变换不具备时间和频率的定位功能，即对于给定的某个频率，要求得该处的傅里叶变换，需要利用傅里叶变换公式对时间从0到+∞进行积分，也就是说需要知道整个时域的知识；如果要求出某一时刻的值，需要利用傅里叶反变换对频域的值从-∞到+∞进行积分，也就是说需要整个频域的知识。因此说傅里叶变换缺乏频率和时间的定位功能。

（2）在使用傅里叶变换时，无论是单频率信号还是多频率信号，都认为信号频率不随时间变化，也就是说假定为时不变信号。在时不变情况下，信号可以展开为多个复正弦信号的和，这无穷多个复正弦信号的频率、幅度和相位都不随时间的变化而变化，是特定的常数值。但是在现实中，绝大部分信号的频率都随时间变化。Shie等人把频率随时间变化的信号称为非平稳信号，频率不随时间变化的信号称为平稳信号。而傅里叶变换不能反映信号频率随时间的变换行为，因此他只适用于分析平稳信号，对于时变信号，它只能给出一个总的平均效果。

(3) 另外，傅里叶变换在分辨率上也有局限性。我们希望既能得到好的频率分辨率又能得到好的时间分辨率，但是Shie和Mallat均指出了不可违背的不确定原理。因此频率分辨率和时间分辨率不可能同时达到最好。并且傅里叶变换无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率。这是傅里叶变换的第三个缺点。

鉴于以上傅里叶变换的不足，提出了很多解决办法，如短时傅里叶变换、时频联合分析、信号的子带分解、小波分析等。

最近几十年来，小波理论得到了迅速的发展，并且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。在去噪领域中，小波理论受到了许多学者的重视，小波去噪被应用于一维信号、二维信号的去噪，获得了非常好的效果。具体来说，小波去噪方法的成功主要得益于小波变换的如下特点。
（1）多分辨率，多分辨率的方法可以很好的刻画信号的非平稳特征，如边缘断点、尖峰等。
（2）低熵性，小波系数的稀疏分布使得信号经过小波变换后的熵降低。
（3）去相关性，因为小波变换可以对信号进行去相关，噪声在小波变换后有白化趋势，所以小波域比时域更有利于去噪。
（4）选基灵活性，小波变换可以根据不同的应用场合、对不同的研究对象，选择不同的小波母函数以获得最佳效果[1]。

二、小波与傅里叶变换去噪效果仿真分析

首先，利用matlab对原始信号进行仿真，并在原始信号上添加白噪声。接着，分别对原始信号和含噪信号进行傅里叶变换，并在图1中展示二者的频谱。最后，呈现小波去噪和傅里叶变换去噪后的信号。结果显示，在此仿真情境下，小波去噪的效果更显著。

图1 小波和傅里叶变换去噪效果对比结果

三、Matlab程序获取

Matlab源程序下载地址：

小波与傅里叶变换在去噪效果上的对比分析-附Matlab源程序

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