《普通逻辑》学习记录——命题的判定与自然推理

目录

一、真值

1.1、真值联结词

1.2、真值联结词与逻辑联结词的区别

1.3、真值形式

1.3.1、真值符号的优先级和结合性规则

1.4、真值规则

1.4.1、条件式（蕴含式） P → Q 的真值规则

1.4.2、双条件式（等值式） P ↔ Q 的真值规则

1.5、函数

1.5.1、数学中的函数概念

1.5.2、逻辑学中的函数概念

1.5.3、真值函数（也叫真值函项）

1.5.3.1、真值函数的种类

1.5.4、重言式

二、命题的真值判定方法

2.1、真值表法

2.2、归谬赋值法

三、命题的自然推理

3.1、一些概念

3.2、自然推理系统的主要规则

四、练习题

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上海人民出版社《普通逻辑（第五版）》学习记录

一、真值

真和假是命题仅有的两个值。统称为“真值”。

1.1、真值联结词

用于定义复合命题的真值如何依赖于其肢命题真值的联结词。

有五个：

• 否定（¬）
• 合取（∧），即逻辑与
• 析取（∨），即逻辑或
• 条件，也叫蕴含（→），即如果...就一定...
• 双条件，也叫等值（↔），即当且仅当

这和逻辑联结词看起来一样，二者有何区别呢？

1.2、真值联结词与逻辑联结词的区别

二者是紧密相关的，大多数时候被认为是同义的。

联结词具有两个功能：

1. 将肢命题组合成复合命题。在发挥这个功能时联结词叫做逻辑联结词。
2. 确定复合命题的真假。在发挥这个功能时联结词叫做真值联结词。

例1：

P：今天下雨。

Q：我带了伞。

可以使用联结词来构建复合命题。例如：

合取（∧）：“今天下雨且我带了伞。”（P ∧ Q）

析取（∨）：“今天下雨或我没有带伞。”（P ∨ ¬Q）

这里用联结词将单个命题组合成更复杂的表达式。（联结词发挥了作用：在生成一个复合命题的过程中起联结作用。即并没有涉及到复合命题的真假的讨论）这时候的联结词叫做逻辑联结词。

例2：

假设：

P（今天下雨）是真的。

Q（我带了伞）也是真的。

那么根据真值表，可以得出：

对于合取命题 P∧Q（今天下雨且我带了伞），因为两个肢命题都是真的，所以这个复合命题也是真的。

对于析取命题 P∨¬Q（今天下雨或我没有带伞），由于 P 是真的，即使 ¬Q（即“我没有带伞”）是假的，整个析取命题仍然是真的。

在这种情况下，联结词的功能是根据各个肢命题的真假来决定整个复合命题的真假。（复合命题的真假由肢命题的真假和联结词的性质决定。联结词发挥了作用：参与确定复合命题的真假）这时候的联结词叫做真值联结词。

1.3、真值形式

由命题变项（用字母如 P、Q、R 等表示）和真值联结词组成的表达式。

它的结果（即整个表达式的真值）完全取决于其中命题变项的真值。也就是说，只要确定了命题变项是真还是假，通过真值联结词的运算规则，就能确定整个真值形式的真假。

基本形式：

• 合取式：P ∧ Q
• 析取式：P ∨ Q
• 条件式（蕴含式）：P → Q
• 双条件式（等值式）：P ↔ Q
• 否定式：¬P

1.3.1、真值符号的优先级和结合性规则

1、优先级规则

从高到低的优先级顺序为：否定（¬）＞合取（∧）＞析取（∨）＞蕴含（→）＞等值（↔）

例：表达式 ¬P ∧ Q → R

首先计算 ¬P，然后进行 ¬P 与 Q 的合取操作（¬P ∧ Q），最后考虑蕴含关系（¬P ∧ Q） → R。

2、结合性规则

否定（¬）

只对紧跟其后的一个命题变元起作用，不存在结合性的问题。

合取（∧）和析取（∨）

具有结合性，它们满足结合律。例如：（P ∧ Q） ∧ R = P ∧ （Q ∧ R）。

在没有括号的情况下，从左到右依次进行运算。例如，在表达式 P ∧ Q ∧ R 中，先计算 P ∧ Q，然后再将结果与 R 进行合取。

蕴含（→）

不满足结合律，即（P → Q）→ R 与 P →（Q → R）是不同的逻辑表达式。

等值（↔）

不满足结合律，即 （P ↔ Q）↔ R 与 P ↔ （Q ↔ R）是不同的逻辑表达式。

括号

可以改变运算的顺序，当需要改变默认的优先级顺序时，就要使用括号。

1.4、真值规则

1.4.1、条件式（蕴含式） P → Q 的真值规则

用这个例子说明：

P：下雨了。

Q：地面湿了。

P → Q：如果下雨地面会湿。

1、T-T

确实下雨了（P），而且地面确实变湿了（Q）。这与“如果下雨地面会湿”（P → Q）的表述一致，P → Q 描述的情况发生了。

2、T-F

如果确实发生了下雨了（P），但是地面没有变湿（¬Q），比如有遮挡物且雨很小的情况。P → Q 描述的情况没有发生。

3、F-T（重点）

如果没有下雨（¬P），但是地面变湿了（Q），这种情况照理来说无法判断“如果下雨地面会湿”（P → Q）是否会成立。

实际上如果前提 P 为假，而结论 Q 为真，那么整个命题 P → Q 仍然是真的。

这种情况可能看起来有些反直觉，但在逻辑学中，当一个条件的前提不成立时，无论结论是什么，这个条件总是被视为真实的。这是因为该条件无法否定结论。

一个约定

在逻辑推理与论证的语境中，可将 “当无法证伪时，逻辑关系暂且被认为是真的” 作为一种实用的约定方式。这是因为，倘若在无法证伪时便认定逻辑关系为假，那么在面对复杂的逻辑推理和论证情境时，会不可避免地滋生大量矛盾与不确定性因素，从而致使逻辑推理的进程难以有效推进。

然而，需要明确的是，这种 “无法证伪即为真” 的约定并非绝对可靠，它只是在特定的认知局限与推理需求背景下的一种权宜之计。在科学探索以及逻辑分析的进程中，人们依然期望能够通过更为坚实的证据、严谨的证明或者充分的事实依据来确切判定逻辑关系的真假，而非单纯依赖于能否证伪这一单一标准。

4、F-F

如果没有下雨（¬P），而且地面没有湿（¬Q），这也无法证伪“如果下雨地面会湿”（P → Q）。依据上述的约定，这种情况 P → Q 也被认为是真。

1.4.2、双条件式（等值式） P ↔ Q 的真值规则

用这个例子说明：

P：我会带伞。

Q：我预估明天下雨。

P ↔ Q：我会带伞当且仅当我预估明天下雨。

1、T-T

我会带伞（P），我预估明天下雨（Q）。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”（P ↔ Q）的描述是一致的。

2、T-F

我会带伞（P），且我预估明天不会下雨（¬Q）。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”（P ↔ Q）是矛盾的。（P ↔ Q）描述的情况没有发生。

3、F-T

我不会带伞（¬P），且我预估明天下雨（Q）。那么这与“我会带伞当且仅当我预估明天下雨”（P ↔ Q）是矛盾的。（P ↔ Q）描述的情况没有发生。

4、F-F

双条件式实际上等价于：（P → Q）∧（Q → P）。

本例中：

• P → Q：如果我会带伞，那么一定是我预估了明天下雨。
• Q → P：如果我预估明天下雨，那么我一定会带伞。

参见上面的1.4.1的第四点。

我不会带伞（¬P）且我预估明天不会下雨（¬Q），都不能证伪 P → Q 和 Q → P ，所以依据上面说的约定，它的真值是 true。

1.5、函数

1.5.1、数学中的函数概念

从定义域到值域的映射。每个来自定义域的输入元素都恰好对应一个值域中的输出元素。

例：

计算一个数平方的函数： f(x) = x^2 。即着对于定义域中的每一个 ( x )，输出 ( f(x) ) 就是 ( x ) 的平方。 

1.5.2、逻辑学中的函数概念

一种接受一个或多个输入（参数）并根据这些输入计算出唯一确定输出（结果）的规则或表达式。

例1，自动售货机：

函数：选择商品并投入相应金额 -> 输出商品。

逻辑规则：如果选择了商品A，并且投入了足够的钱（例如2元），则输出商品A；否则，不输出商品并且可能返回投入的硬币。

例2，交通信号灯：

函数：时间 + 当前颜色 -> 下一个颜色。

逻辑规则：如果当前是绿灯并且经过了一定的时间，则变为黄灯；如果是黄灯，则变为红灯；如果是红灯，则变为绿灯。这个过程可以根据预设的时间间隔和当前状态确定下一个状态。

例3，图书馆借书系统：

函数：会员ID + 图书ID -> 借阅确认或拒绝。

逻辑规则：如果会员有良好的信用记录并且所选书籍可借，则允许借阅；否则，拒绝借阅请求。

1.5.3、真值函数（也叫真值函项）

一种特殊的函数（特殊的规则或表达式）。

接受一个或多个命题变量（真或假）作为输入，并根据定义的规则产生一个逻辑值（真或假）作为输出，以此构建复合命题。

真值函数的定义域和值域的取值都是真值。

它的行为可以通过真值表展示，其中列举所有可能的输入组合及其对应的确定性输出。

例：

P：天气好

Q：我有空闲时间

可以定义一个逻辑函数 F(P, Q) 来决定是否去公园散步，它的结果是真值，即 F(P, Q) = P ∧ Q。

可以写作：

• F(1,1) = 1
• F(1,0) = 0
• F(0,1) = 0
• F(0,0) = 0

1.5.3.1、真值函数的种类

根据真值函数的取值情况，可将不同的真值函数分成几类：

1、永真式/重言式

不论命题变元如何取值，真值函数的值总是 true。

例：P ∨ ¬P。

2、矛盾式（常假的）

不论命题变元如何取值，真值函数的值总是 false。

例：P ∧ ¬P。

3、可满足式

真值函数的值与命题变元相关，即存在某些命题变元的取值使得真值函数的值为 true，也存在某些取值使得真值函数的值为 false。

例：P ∧ Q，P ∨ Q。

1.5.4、重言式

重言式是最常用的真值函数，因为命题逻辑中一切正确的推理形式均表现为重言式。

也就是说：

一个推理形式：

∵A₁, A₂, …, Aₙ

∴A

是有效的，当且仅当命题形式 (A₁∧A₂∧…∧Aₙ)→A 是重言式。

• 推理是从一组前提推导出一个结论的过程。
• 推理形式是指这种推导过程的逻辑结构，而不涉及具体命题的内容。
• 一个推理形式是正确的，当且仅当在所有前提为真的情况下，结论必然为真。

所以正确的推理形式保证了如果前提是真的，那么结论一定是真的。

• 重言式的性质就是无论其中的命题变元如何取值，整个公式总是为真。
• 把一个正确的推理形式转化为一个逻辑公式时，这个公式必然是重言式。因为它满足在前提变元的任何取值组合下，只要前提为真，结论就为真，这与重言式的定义相符合。

二、命题的真值判定方法

如上所说，一个推理形式是有效的，当且仅当命题形式重言式。也就是判定了一个蕴涵式（→）或等值式（↔）是否是重言式，就判定了它所代表的推理形式是否正确，即判定了相应的推理是否逻辑有效。

为了判定一个命题形式是否为重言式，可以寻找一种判定程序，这种程序应是机械的，并且在有穷步骤内能够完成。

这里主要介绍真值表法和归谬赋值法。

2.1、真值表法

以真值形式： （P → Q）∧（¬Q → ¬P）为例。

步骤一：找出给定真值形式里的所有变项，列出这些变项的各种真值组合。

此例变项为 P、Q，其真值组合为：

步骤二：根据真值形式的构成过程，由简而繁地列出一个真值形式的各个组成部分，最后一栏为该形式本身。

步骤三：计算出每栏中各组成部分的真值，最后得出该形式的真值。

由最后一栏可知该形式的真值不是在所有情况下都是 true，所以它是可满足式。

书上的2个例子：

2.2、归谬赋值法

真值表法涉及到的项数越多，表格的行数列数就越多越复杂。

归谬赋值法是为了简化真值表法而被发明出来的，它只能处理条件式或能转化成条件式的双条件式（双条件式可以分解成两个条件式）和析取式（也就是等值命题）。但是由于需要判定真值的式子往往是条件式（它代表了推理形式），所以此方法是非常有用的。

它的原理：

对于一个条件式 P → Q，先假设它为假，也就是假设其前件为真而后件为假。如果在这种假设下出现矛盾（比如某个变元既真又假），那么就说明原蕴含式是重言式；如果不出现矛盾，就说明原蕴含式不是重言式。

下面用一个例子来说明，判断：（（P → Q）∧ ¬Q）→ ¬P 是否为重言式。

步骤一：假设整个式子为假。

因为对于条件式 A → B 为假当且仅当 A 为真而 B 为假（见此博文的4.1的第四点）。所以令（（P → Q）∧ ¬Q）为真，¬P 为假。

步骤二：对后件进行推导。

此例的后件是 ¬P，推导如下：

• 因为 ¬P 为假，所以 P 为真。

步骤三：对前件进行推导。

此例前件为（（P → Q）∧ ¬Q），推导如下：

• 因为（（P → Q）∧ ¬Q）为真，所以（P → Q）为真，且 ¬Q 为真。
• 因为 ¬Q 为真，所以 Q 为假。

步骤四：检查是否有矛盾之处。

已知 P 为真、Q 为假、P → Q 为真。这是有矛盾的。

由于假设公式（（P → Q）∧ ¬Q）→ ¬P 为假会导致矛盾，所以这个公式作为真值函数的值总是true 的，也就是这个公式是重言式。

三、命题的自然推理

3.1、一些概念

1、形式语言

一种人工语言，按照精确的语法规则和符号系统构建的，用于对特定的概念、推理或结构进行严格的表述。

形式语言由两部分构成：

• 符号集：包括逻辑常项（如 “¬”、“∧”、“∨”、“→”、“↔” 等）和逻辑变项（如 P、Q、R 等）。这是前面一直在使用的。
• 语法规则：规定了如何使用符号来组合成公式。

2、逻辑演算系统

用于研究逻辑推理的系统。以形式语言为基础，通过明确的规则来对逻辑公式进行变形和推导，从而实现对逻辑关系的精确处理。

例：

“∧”符号表示的语法规则是“逻辑与”；用 P、Q 表示两个命题。

如果 P、Q 都成立，那么根据“逻辑与”的性质，可以推导：P ∧ Q 也成立。

3、公理化系统

一种特殊的逻辑演算系统。它从一组被认为是 “不证自明” 的公理出发，通过严格的逻辑推理规则，推导出一系列定理。

组成部分：

• 公理：基本假设，是公理化系统的基础。例如，在欧几里得几何公理化系统中，“过两点能作且只能作一直线” 就是一条公理。公理都是被设定为真的命题，不需要在该系统内进行证明。
• 推理规则：和逻辑演算系统类似，有一套推理规则用于从公理推导出定理。
• 定理：是在公理和推理规则的基础上得到的逻辑结论。例如，在几何中，根据公理和推理规则可以推导出 “三角形内角和为 180 度” 这样的定理。

特点：

• 严谨性：每一个定理都必须基于公理或者已经证明了的其他定理，通过严格的逻辑推理得出。这保证了系统的每个部分都是建立在坚实的基础之上。
• 系统性：公理化系统试图将一个领域内的所有知识组织成一个连贯的整体。所有的概念、定义、定理等都应该在这个体系内有其明确的位置，并且彼此之间存在逻辑联系。
• 非唯一性：对于同一个研究对象或领域，可能存在多组不同的公理集，每组公理都能构建出一套有效的理论体系。不同选择的公理可能会导致完全不同的结果，但也可能产生等价的理论体系，即两个或多个理论在某种程度上可以互换使用而不影响其有效性。
• 独立性和一致性：理想的公理化系统中的公理应该是相互独立的（即没有一个公理是可以由其它公理推导出来的），并且该系统是一致的（即不存在自相矛盾的情况）。
• 完备性：在一个完备的公理化系统中，任何可以用该系统语言表达的命题都可以被证明为真或假。然而，哥德尔不完备定理表明，在包含足够复杂算术的任何形式系统中，总会存在一些命题既不能被证明也不能被证伪。
• 解释性：公理化系统可以用于描述现实世界的现象，也可以作为抽象思维的工具。它们提供了一种方式来探索和理解复杂的概念和关系。

4、自然推理系统

一种形式化的逻辑演算系统，在形式语言的基础上增加若干推理规则（无须设定公理）而构成。

它的特点是更贴近人们日常的思维和推理方式。它没有像公理化系统那样预先设定的公理，而是以假设和推理规则为核心，通过引入和消除假设来进行逻辑推导。

例：

出门是否带伞的决策过程：

• 假设引入：早上你看到天气预报说有的降雨概率。你在考虑出门是否要带伞，此时你引入一个假设：“今天会下雨”。这就相当于在自然推理系统中引入了一个假设，用于后续的推理。
• 推理过程：基于 “今天会下雨” 这个假设，你开始思考。如果下雨，你不带伞就会被淋湿，而你不想被淋湿，所以你需要带伞来避免被淋湿。推理过程就是根据假设和一些已知的规则（在这个例子中，规则是 “下雨且不带伞会被淋湿” 以及 “不想被淋湿”）进行推导。
• 假设消除：最后，你得出一个结论：“如果今天会下雨，那么我就带伞”。这个结论就相当于把之前引入的 “今天会下雨” 这个假设进行了消除，将其整合进了一个条件语句中。现在这个结论不再依赖于 “今天真的会下雨” 这个假设本身是否成立。即使最后没有下雨，这个条件语句在逻辑上依然是合理的。

3.2、自然推理系统的主要规则

1. 同一律：A → A
2. 假言推理：如果前提中有 A 和 A → B，则可以推出 B。
3. 条件引入：如果在假设 A 的情况下可以推导出 B，那么可以得出 A → B 的推论。
4. 合取引入：如果前提中有 A 和 B，则可以得出 A ∧ B 的推论。
5. 合取消除：如果前提中有 A ∧ B，则可以推出 A 和 B。
6. 析取引入：如果前提中有 A，则可以得出 A ∨ B；同样地，如果前提中有 B，则可以得出 A ∨ B。
7. 析取消除：如果前提中有 A ∨ B，并且从 A 可以推导出 C，从 B 也可以推导出 C，则可以得出 C。
8. 归谬法：如果在假设 A 的情况下可以推导出矛盾 B ∧ ¬B，那么可以得出 ¬A。
9. 双重否定消除：前提中有 ¬¬A，则可以得出 A。
10. 等值引入：如果从 A 可以推导出 B，并且从 B 可以推导出 A，则可以得出 A ↔ B。
11. 可以在推导中的任何地方引入一个公式作为假设前提。

这11条主要规则中前面10条都非常简单，容易理解。

第11条的要说明的是，只要能在推理过程中把前面引入的假设消除掉，如使用规则3、7、8、10来消除假设，使结论不再依赖于假设而存在，就可以随意引入。

例：

使用自然推理证明：如果一个平面图形是三角形（P），那么它的三个内角和等于180°（Q）。

1. 引入假设：根据规则（11），引入假设 P，即假设 “一个平面图形是三角形”。
2. 依据几何知识推导：已知如果一个平面图形是三角形，那么根据欧几里得几何学的公理可知它的三个内角和等于 180°，也就是在假设 P 成立的情况下，能够得到 Q 成立。（这里相当于利用了利用外部知识（几何学原理）来辅助逻辑推理过程）。
3. 运用条件引入规则得出结论：因为我们在假设 P 的情况下推导出了 Q ，根据上述规则（3），如果在假设 P 的情况下可以推导出 Q，那么可以得出 P → Q 的推论。也就是使用规则（3）消除了假设，使得结论不再依赖于假设，即使一个图形平面不是三角形，“如果一个平面图形是三角形，那么它的三个内角和等于180°”也是成立的。

四、练习题

1、（（p→q）∧（r→q）∧（p∨r））→q

• 先假设前件真而后件假；
• 后件假，即q为假；
• 前件真则（p→q）为真，（r→q）为真，（p∨r）为真；
• q为假，（p→q）为真，则可知p为假；
• p为假，（r→q）为真，则可知r为假；
• p为假且r为假与（p∨r）为真矛盾了；
• 所以假设不成立，该式是重言式。

2、（p→q）∧（p→r）↔（p→q∨r）

根据此博文的4.1的第6点。先假设这个等值式的负命题成立，即前后件不等值。

1、前件真而后件假的情况：

• （p→q）∧（p→r）为真则（p→q）、（p→r）为真；
• （p→q∨r）为假则p真、q∨r为假；
• q∨r为假即q为假和r也为假；
• （p→q）为真则p和q同真假，这已经与上面的推理不符合；
• 所以负命题前件真后件假的情况不成立。

2、前件假而后件真的情况：

• （p→q）∧（p→r）为假则（p→q）、（p→r）二者至少有一个是假的；
• （p→q）为假时，p为真q为假。这时候：p真，q假，r不确定。
• （p→r）为假时，p为真r为假。这时候：p真，q不确定，r假。
• 也就是可以确定p为真的，q和r中至少一个是假的。
• （p→q∨r）为真则有两种情况：情况A：p为假，则q和r的真假不能确定，这与上面p为真的推理不符合。情况B：p为真，则q和r都为真，这与上面q和r中至少一个是假的推理不符合。
• 所以负命题前件假而后件真的情况不成立。

所以假设不成立，该式是重言式。

3、（p→q）∧（q→r）→（p→r）

• 先假设前件真而后件假；
• （p→r）假，则p为真，r为假；
• （p→q）∧（q→r）真，则（p→q）、（q→r）都是真；
• （p→q）为真且p为真，所以q为真；
• q为真，r为假，这与（q→r）为真矛盾了；
• 所以假设不成立，该式是重言式。

 1、p∧p→p

使用合取消除规则（如果前提中有 A ∧ B，则可以推出 A 和 B），从 p∧p 可以推出p。