第八讲 一元函数积分学的概念和性质

不定积分

1.原函数与不定积分

需知道：F(X)可导必连续

2.原函数（不定积分）存在定理

(1)连续函数f(x)必有原函数F(x)

(2)含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x).

速记：只有震荡可能有，其他一律没有

就是F(X)可导必连续，但是不能保证F`(X)必然连续，还能震荡，两种情况。

• f（X）存在不能推导介质定理，只有连续（介值定理）
• f`（X)存在，f`（X)一定有介质定理 （导数的介值定理（达布定理） ），                               补充第二特性：无第一类间断点（跳跃、可去）无穷，违背介质定理；                                还有f`（X)不等于0 ---> f`（X)必然保号。
• 视频2长述
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定积分

性质

性质4的补充

存在定理

        定积分的存在性，也称一元函数的（常义）可积性.这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”

（1）充分条件

\begin{aligned}&\text{(1)定积分存在的充分条件 .}\\&\text{1若}f(x)\text{在}\left[a,b\right]\text{上连续,则}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\text{存在}.\\&\text{2若}f(x)\text{在}\left[a,b\right]\text{上单调,则}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\text{ 存在 }.\\&\text{3若}f(x)\text{在}\left[a,b\right]\text{上有界,且只有有限个间断点,则}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\text{存在}.\end{aligned}

简单来说：要确保定积分存在（即有一个确定的值），只要函数满足这些条件之一（连续、单调、有限间断点），就可以确保它的定积分存在，可以计算出一个具体的数值。

（2）必要条件：

        可积函数必有界，即若定积分存在 ，则 f (x )在[a ，b] 上 必 有 界 

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可变积分

性质

若 f(x)在 [a,b] 上只有有限个第一类间断点，则f(x) 可积，但其原函数 F(x) 不一定可导。

反常积分

积分区间为无穷大或被积函数在积分区间上具有无穷大的极限值

反常积分的收敛性：仅当反常积分收敛时，才满足常规的积分性质。

判别方法

• 比较判别法：与已知收敛或发散的函数积分作比较。
• 比值判别法：通过被积函数在无穷大附近的渐近行为判断。

总结

• 记忆重点

  • 连续函数必有原函数；间断函数必无原函数。
  • 定积分存在的三大条件：连续、单调、有界且有限间断点。
  • 反常积分关注收敛性。

• 图形化理解

  • 定积分可理解为求面积，不定积分是“反导数”的过程。

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