2025年数学建模美赛：A题分析（1）Testing Time: The Constant Wear On Stairs

2025年数学建模美赛 A题分析（1）Testing Time: The Constant Wear On Stairs
2025年数学建模美赛 A题分析（2）楼梯磨损分析模型
2025年数学建模美赛 A题分析（3）楼梯使用方向偏好模型
2025年数学建模美赛 A题分析（4）楼梯使用人数模型

特别提示：

• 本文针对 2025年 A题进行分析，每天不断更新，建议收藏。

2025年数学建模美赛：A题分析（测试时间：楼梯的持续磨损）

1. 题目翻译

石头象征着坚韧的永久性，雕刻的岩石因其抵抗磨损的能力而被用作建筑材料。尽管具有耐久性，石头也无法完全抵抗磨损。而更为持久的，是人类的活动。

图 1：长期使用后出现不均匀磨损的台阶示例

用于建造台阶的石材和其他材料经受着持续的长期磨损，并且这种磨损可能是不均匀的。例如，在极其古老的寺庙和教堂中，台阶的中央部分可能会比边缘部分磨损得更加严重，导致踏面不再平整，而是呈现出弯曲的形态。由于这些建筑物的性质，通常已被人类居住了很长时间，但某些地点的人类活动历史往往早于建筑物的建设时间。这使得精确确定建筑物的建造日期变得困难。当一个建筑经历了漫长的建设期、经历过翻修或随着时间的推移加入了新的部分时，这种情况就更加复杂。

您的团队被要求为考古学家提供关于磨损楼梯的信息分析指导。台阶可能由不同的材料构成，例如石头或木头。尽管可能能够估算出一组台阶的建造时间，但很难得到精确的时间点。在历史记录中，也可能无法清晰显示某段台阶属于哪个具体的建造时期。

除了年龄问题，考古学家还可能对以下信息感兴趣：楼梯使用时的交通模式。例如，是否同时有人上下楼梯，还是某个方向更为常见？考古学家还可能想了解楼梯使用的频率。例如，是大量人群在短时间内使用，还是少量人在很长一段时间内使用？

您的任务
您的团队需要开发一个模型，通过特定楼梯的磨损模式得出以下基本预测：

• 楼梯使用的频率。
• 使用楼梯时是否更倾向于某一方向。
• 同时使用楼梯的人数（例如，人们是否成对并排爬楼梯，还是单列行走）。

您可以假设考古学家能够接触到相关建筑并获取您团队认为重要的测量数据。这些测量需为非破坏性、成本较低，并可由一个小型团队使用最小化的工具完成。您需明确说明所需的测量内容。

此外，假设已经获得楼梯的建造年代、使用方式以及建筑中日常生活模式的估算信息，您需要回答以下问题：

• 磨损是否与现有信息一致？
• 楼梯的年龄及其估算的可靠性如何？
• 楼梯是否经历过维修或翻修？
• 能否确定材料的来源？例如，石材的磨损是否与考古学家认为的原始采石场材料一致？若使用木材，其磨损是否与假定使用的树种和年代相符？
• 有关楼梯典型每日使用人数的信息，以及是否有大量人群在短时间内使用，或少量人群长期使用的情况？

报告要求
您的 PDF 报告不得超过 25 页，内容包括：

• 一页摘要。
• 目录。
• 完整解决方案。
• 参考文献列表。
• 人工智能使用报告（若使用人工智能，不计入25页限制）。

报告长度没有特定的最低要求。允许提交部分解决方案。可以合理使用如 ChatGPT 等生成式 AI，但无需必须使用。若使用 AI，需遵守 COMAP AI 使用政策，并在 PDF 报告末尾附加 AI 使用报告（不计入 25 页限制）。

术语表

• 永久性：持续或保持不变的状态或质量。
• 不可受损：不受影响。
• 非破坏性：不涉及对评估对象或材料的破坏或破损

2. 借助 ChatGPT 分析问题

1.1 提问：请分析以上问题的基本要求

1. 核心任务 开发一个数学模型，通过分析楼梯的磨损模式，解答以下问题：
   （1）楼梯使用频率：推断楼梯每天使用的大致频率。
   （2）使用方向偏好：判断是否存在单一方向使用占优势的情况。
   （3）同时使用人数：分析同时使用楼梯的人数是单列还是并列形式。

2. 附加问题 在已有信息的基础上回答以下问题：
   （1）磨损是否与已有的使用和生活模式数据一致。
   （2）楼梯的建造年代及其估算可靠性。
   （3）楼梯是否经历了维修或翻修。
   （4）材料的来源是否能通过磨损特性确定。
   （5）使用人群规模和时间分布的规律。

3. 数据采集限制
   （1）非破坏性：所有测量过程不能破坏楼梯本身。
   （2）低成本：测量工具和方法的花费需相对低廉。
   （3）操作简单：由一个小型团队完成，且仅使用基本工具。

4. 报告要求
   （1）包括模型、计算、预测及结论的详细解释。
   （2）必须包含一页摘要、目录、完整解决方案及参考文献。
   （3）可合理使用人工智能，但需在附录中说明具体使用情况。

1.2 提问：请分析以上问题的解题思路

为解决上述问题，可以将任务分解为以下步骤：

1. 理解楼梯磨损的成因及模式
   （1）磨损通常集中在楼梯的中央，因为人们倾向于走中间区域。
   （2）楼梯边缘磨损更轻，反映出楼梯使用方向的偏好和频率。
   （3）磨损深度和材料属性相关，不同材料的磨损速度和模式不同。

2. 确定必要的数据和测量方法
   （1）磨损深度和分布：通过激光扫描或高精度3D建模技术获取楼梯的表面形状。
   （2）材料特性：分析楼梯材料的密度、硬度，以及磨损速率。
   （3）建造历史：获取建筑物的时间线记录，结合已有历史数据。

非破坏性测量建议：
（1）激光扫描：测量台阶的形状和高度变化。
（2）红外光谱或X射线荧光分析：非破坏性地确定材料成分。

3. 建立数学模型
   针对核心问题，建立以下子模型：
   （1）楼梯使用频率模型
   基于磨损深度与材料磨损速率的关系：

$$使用频率=\frac{磨损深度}{单位时间的材料磨损速率}$$

使用已有的材料磨损实验数据，估算每日或每年的使用次数。

（2）方向偏好模型
通过分析楼梯中央与边缘的磨损程度，计算不同方向使用的概率：
$$方向偏好=\frac{中心区域磨损量}{总磨损量}$$

** （3）同时使用人数模型**
分析磨损分布的宽度：
单列行走：磨损集中且窄。
并列行走：磨损分布更宽，呈多峰结构。
对楼梯宽度和磨损模式的统计分析，推断同时使用人数。

4. 对附加问题的处理

• 磨损一致性：比较模型预测与现有使用数据，评估一致性。
• 建造年代估算：结合磨损速率与深度反推楼梯的建造时间。
  -材料来源分析：将楼梯材料的化学成分与已知采石场或木材来源对比。
  -人群规模与时间分布：
  • 大量人群短时间使用：磨损较深但不均。
  • 少量人群长期使用：磨损较浅且均匀。

5. 模型验证
   通过历史记录或考古数据验证模型的预测结果。
   比较不同假设条件下的模型表现，分析结果的稳定性和适用性。

总结：

1. 解决问题的关键点
   明确所需数据和测量方法，确保其非破坏性和可行性。
   理解磨损的物理和化学原理，为模型提供基础。
   通过数学模型，将磨损模式转化为可量化的行为推断。

2. 实施建议
   优先开发磨损深度与频率的关联模型，因其与其他问题密切相关。
   利用现代非破坏性技术（如激光扫描）获取高质量的楼梯数据。
   在模型构建时，注重结合历史数据与实际测量结果，确保模型的可靠性和适用性。

3. 数学模型和编程实现

具体数学模型和编程，将在 2025/1/24 12:00 公布，请教收藏关注。

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【本节完】