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【Convex Optimization Stanford】Lec3 Function

news 2025/7/10 19:41:46

【Convex Optimization Stanford】Lec3 Function

  • 前言
  • 凸函数的定义
    • 对凸函数在一条线上的限制
    • 增值扩充？
  • 一阶条件
  • 二阶条件
  • 一些一阶/二阶条件的例子
  • 象集和sublevel set
  • 关于函数凸性的扩展（Jesen Inequality)
  • 保持函数凸性的操作
    • 非负加权和 & 仿射函数的组合
    • 逐点最大
    • 逐点取上界
    • 函数的组合
      • 放缩函数的组合
    • 向量组合
    • 最小化？下界(inf)？
    • 投影
    • 共轭函数
  • 拟凸函数
    • 拟凸函数的性质
  • Log-Concave and Log-Convax函数
    • 性质
    • 例子
  • 凸函数与推广不等式的结合

前言

一些数学基础：

  1. 正定矩阵的充要条件和性质
  2. 矩阵范数和迹
  3. Cauthy-Schwarz Inequalities

凸函数的定义

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注：关于矩阵范式的计算，见知乎

对凸函数在一条线上的限制

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增值扩充？

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一阶条件

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二阶条件

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一些一阶/二阶条件的例子

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象集和sublevel set

联系了函数的凸性和集合的凸性。
凸函数=象集是凸集
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关于函数凸性的扩展（Jesen Inequality)

貌似是对一个随机变量的扩展，我认为对于有限的状态空间，这可以视作是一个概率分布（相当于一次性选择了多个点）。
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保持函数凸性的操作

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非负加权和 & 仿射函数的组合

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逐点最大

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逐点取上界

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函数的组合

放缩函数的组合

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向量组合

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最小化？下界(inf)？

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投影

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共轭函数

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拟凸函数

每一个sublevel sets都是凸的。
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拟凸函数的性质

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Log-Concave and Log-Convax函数

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性质

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例子

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凸函数与推广不等式的结合

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