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电路笔记 (信号): opa tips 放大器反馈电阻并联电容抑制高频噪声的详细推导(传递函数分析)

news 2025/11/27 4:20:22

1. 高频噪声传递函数分析

（1）电路结构

输入信号通过 $R_1$ 和 $C_{\text{NI}}$ 的并联组合连接到运放的同相输入端。
反馈电阻 $R_2$ 连接在运放的输出端和反相输入端之间。

参照运算放大器噪声增益和信号增益,等效输入噪声源（ $V_{NI}$ ）的增益为 $A_{NI}=\frac{R_1+R_2}{R_1}$

$\frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{R_2+\{R_1//C_{NI}\}}{\{R_1//C_{NI}\}}=\frac{R_2+R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}}{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}}$

（2）输入阻抗和反馈阻抗

输入阻抗 $Z_{\text{in}}$ 是 $R_1$ 和 $C_{\text{NI}}$ 的并联组合：
$R_1 // \frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}} = \frac{R_1 \cdot \frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}}}{R_1 + \frac{1}{j\omega C_{\text{NI}}}} = \frac{R_1}{1 + j\omega R_1 C_{\text{NI}}}$
反馈阻抗 $Z_f$ 是 $R_2$ 。
系统的传递函数 $H(j\omega)$ 是噪声增益 $A_{\text{NI}}$ 的表达式：

$A_{\text{NI}} = 1 + \frac{R_2}{R_1} + j\omega R_2 C_{\text{NI}}$

$H(j\omega) = \underbrace{1 + \frac{R_2}{R_1}}_{\text{实部}} + \underbrace{j\omega R_2 C_{\text{NI}}}_{\text{虚部}}$

（3）幅频特性（重要）

传递函数的幅值 $|H(j\omega)|$ 为：
$\color{red} |H(j\omega)| = \sqrt{\left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)^2 + (\omega R_2 C_{\text{NI}})^2}$
低频时，幅值接近 $\frac{R_2}{R_1}$ 。
高频时，幅值随频率线性增加，表现为高通滤波器的特性。

（4）相频特性

传递函数的相位 $\phi(\omega)$ 为：
$\phi(\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{\omega R_2 C_{\text{NI}}}{1 + \frac{R_2}{R_1}}\right)$
低频时，相位接近 0°。
高频时，相位接近 90°，电路引入了相位延迟。
高频噪声的放大可能导致运放的相位裕度降低，引发自激振荡。

2. 优化

（1）降低高频噪声增益

减小 $R_2$ 或 $C_{\text{NI}}$ 可以降低高频噪声的放大效应。
在反馈路径中添加一个小电容，与 $R_2$ 并联，形成低通滤波器，抑制高频噪声。

（2）优化 PCB 布局

缩短输入信号走线，减少寄生电容 $C_{\text{NI}}$ 。
对敏感信号线进行屏蔽处理，防止外部高频噪声耦合到输入端。

（3）选择低噪声运放

选择具有较低输入噪声和较高带宽的运放，以减小高频噪声的影响。

（4）添加补偿电容 $\color{red}C_F$

在反馈路径中添加一个小电容，与反馈电阻并联，形成低通滤波器，抑制高频噪声。

$\frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{\{R_1//C_{NI}\}+\{R_2//C_F\}}{\{R_1//C_{NI}\}}=\frac{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}+R_2//\frac{1}{j\omega C_{F}}}{R_1//\frac{1}{j\omega C_{NI}}}$

$\color{red} H(j\omega) = 1 + \frac{ \frac{R_2}{1 + j\omega R_2 C_{\text{F}}} }{ \frac{R_1}{1 + j\omega R_1 C_{\text{NI}}} } = 1 + \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{1 + j\omega R_1 C_{\text{NI}}}{1 + j\omega R_2 C_{\text{F}}}$

幅频特性分析 $|H(j\omega)|$ :

$|H(j\omega)| = \left| 1 + \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{1 + j\omega R_1 C_{\text{NI}}}{1 + j\omega R_2 C_{\text{F}}} \right|$

为了计算 $|H(j\omega)|$ ，我们可以分别计算分子和分母的幅值。

分子的幅值：
$j\omega R_1 C_{\text{NI}}| = \sqrt{1 + (\omega R_1 C_{\text{NI}})^2}$
分母的幅值：
$j\omega R_2 C_{\text{F}}| = \sqrt{1 + (\omega R_2 C_{\text{F}})^2}$

因此，传递函数的幅值为：

$\color{red} |H(j\omega)| = \left| 1 + \frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{\sqrt{1 + (\omega R_1 C_{\text{NI}})^2}}{\sqrt{1 + (\omega R_2 C_{\text{F}})^2}} \right|$

低频特性（ $\omega \to 0$ ）
当频率 $\omega$ 很低时,幅值为：
$|H(j\omega)| \approx 1 + \frac{R_2}{R_1}$
高频特性（ $\omega \to \infty$ ）
当频率 $\omega$ 很高时, $\omega R_1 C_{\text{NI}} \gg 1$ ， $\omega R_2 C_{\text{F}} \gg 1$ ,幅值为：
$|H(j\omega)| \approx 1 + \frac{C_{\text{NI}}}{C_{\text{F}}}(这时高频噪声增益固定了)$