数据结构（初阶）（七）----树和二叉树（堆，堆排序）

八，树与二叉树

树

概念与结构

树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。

• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。

• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。

树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构

⼦树是不相交的（如果存在相交就是图了）

除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个⽗结点

⼀棵N个结点的树有N-1条边

树的相关术语

⽗结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点； 如上图：A是B的⽗结点

⼦结点/孩⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点； 如上图：B是A的孩⼦结点

结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0

树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I… 等结点为叶结点

分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G… 等结点为分⽀结点

兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次； 如上图：树的⾼度为 4

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树有很多种表⽰⽅式如：双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法以及孩⼦兄弟表⽰法等。我们这⾥就简单的了解其中最常⽤的孩⼦兄弟表⽰法

struct TreeNode 
{ struct TreeNode* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点 struct TreeNode* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点 int data; // 结点中的数据域 
};

二叉树

概念与结构

在树形结构中，我们最常⽤的就是⼆叉树，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点 加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

⼆叉树具备以下特点：

1，⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点

2，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的

满⼆叉树

⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 2k − 1 ，则它就是满⼆叉树。

完全⼆叉树

完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个

结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从 1 ⾄ n 的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

⼆叉树性质

根据满⼆叉树的特点可知：

1）若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 2i−1 个结点

2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 2h − 1

3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满⼆叉树的深度 h = log2 (n + 1) ( log

以2为底， n+1 为对数)

⼆叉树存储结构

顺序结构

链式结构

实现顺序结构的二叉树

⼀般堆使⽤顺序结构的数组来存储数据，堆是⼀种特殊的⼆叉树，具有⼆叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

堆

小堆（小根堆）：堆顶是堆里最小的数据

大堆（小根堆）：堆顶是堆里最大的数据

堆的性质

堆中某个结点的值总是不⼤于或不⼩于其⽗结点的值；

堆总是⼀棵完全⼆叉树。

⼆叉树性质

对于具有 n 个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的数组顺序对所有结点从

0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

1，若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，⽆双亲结点

2，若 2i+1<n ，左孩⼦序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则⽆左孩⼦

3，若 2i+2<n ，右孩⼦序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则⽆右孩⼦

堆的实现

堆底层结构为数组

头文件Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>//堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;		//有效数据个数int capacity;	//空间大小
}HP;
//初始化
void HPInit(HP* php);
//销毁
void HPDestory(HP* php);
//打印
void HPPrint(HP* php);
//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
//判断堆是否为空
bool HPEmpty(HP* php);
//向下调整
void AdjustDowm(HPDataType* arr, int parent, int n);
//出堆
void HPPop(HP* php);
//取堆顶元素
HPDataType* HPTop(HP* php);

实现Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"Heap.h"//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HPDestory(HP* php)
{assert(php);if (php->arr)free(php->arr);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//打印
void HPPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->arr[i]);}printf("\n");
}//交换
void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//调整
void AdjustUp(HPDataType* arr,int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//控制小堆，大堆if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断空间if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("HPPush()::realloc fail");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newcapacity;}//插入php->arr[php->size] = x;//调整，向上调整AdjustUp(php->arr,php->size - 1);++php->size;
}//判断堆是否为空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//向下调整
void AdjustDowm(HPDataType* arr,int parent,int n)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < n){//控制大堆，小堆//保证右孩子同样不越界if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}}//出堆
//出的是堆顶元素
//1，堆顶元素与最后一个（size-1）元素交换
//2，调整，向下调整，假设成大堆，比较左右孩子，较大的与父结点比较。
void HPPop(HP* php)
{//首先堆不能为空assert(!HPEmpty(php));//先交换Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);--php->size;//调整AdjustDowm(php->arr,0,php->size);
}//取堆顶元素
HPDataType* HPTop(HP* php)
{assert(!HPEmpty(php));return php->arr[0];
}

测试文件test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include"Heap.h"void test()
{HP hp;HPInit(&hp);HPPush(&hp, 15);HPPush(&hp, 10);HPPush(&hp, 56);HPPush(&hp, 70);HPPush(&hp, 45);HPPrint(&hp);//HPPop(&hp);//HPPop(&hp);//HPPop(&hp);//HPPrint(&hp);while (!HPEmpty(&hp)){int top = HPTop(&hp);printf("%d ", top);HPPop(&hp);}HPDestory(&hp);
}int main()
{test();return 0;
}

堆排序

//交换
void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* arr,int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//控制小堆<，大堆>if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//向下调整
void AdjustDowm(int* arr,int parent,int n)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < n){//控制大堆<，小堆>//保证右孩子同样不越界if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}//大堆>，小堆<if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}}//堆排序(借助堆的思想实现)
void HPSort2(int* arr, int n)
{建堆,向下调整,升序大堆，降序小堆//assert(arr);//for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//{//	AdjustDowm(arr, i, n);//}建堆,向上调整assert(arr);for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(arr, i);}//堆排序int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&arr[0],&arr[end]);AdjustDowm(arr, 0, end);end--;}
}int main()
{test();int arr[] = { 2,3,5,1,9,7,5,8,6,0 };int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");HPSort2(&arr, n);for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", arr[i]);}printf("\n");return 0;
}

我们可以发现建堆时，使用向上（向下）调整算法都可以，那么哪种更好一点呢？

从时间复杂度来进行比较，向上调整算法建堆的时间复杂度为O(n ∗ log2 n) ，向下调整算法建堆的时间复杂度为O(n)，所以一般使用向下调整算法建堆

下面是分析过程：

向上调整算法建堆时间复杂度

向下调整算法建堆时间复杂度

TOP-K问题

n >> k