微积分——Rolle定理的理解(罗尔定理)
极值定理(Extreme Value Theorem)指出,闭区间[a,b]上连续的函数既有最大值,也有最小值。然而,其最大最小值都可能发生在端点。罗尔定理(Rolle’s Theorem)以法国数学家Michel Rolle(1652-1719)的名字命名,它给出了极值存在于闭区间内部(interior)(而不是端点处)的条件。
法国数学家米歇尔·罗尔 (Michel Rolle) 于 1691 年首次发表了以他的名字命名的定理。然而,在此之前,罗尔是微积分最直言不讳的批评者之一,指出微积分给出的结果是错误的,而且是基于不可靠的推理。在晚年,罗尔开始看到微积分的用处。
罗尔定理(Rolle’s Theorem):令f在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导。假如f (a) = f (b),则在开区间(a,b)中存在至少一个点c,满足f ’(c) = 0。
或者,换一种描述。令f为满足以下三个假设条件(hypotheses)的函数:
(1) f在闭区间[a,b]上连续,
(2) f在开区间(a,b)上可导,
(3) f (a) = f (b),
则在开区间(a,b)中存在至少一个点c,满足f ’(c) = 0。
对于这几个假设条件的理解:
(1) 假设f 在闭区间[a,b]上连续,这一条实际是满足极值定理的条件,满足这个条件,就说明函数f在闭区间[a,b]上既有最大值也有最小值,只不过这个极值有可能发生在两个端点处。
(2) 假设f 在开区间(a,b)上可导,也就是说函数f在开区间上的导数存在。为什么要刨去两个端点呢?因为在这两个端点处,导数可能不存在;另外,定理是为了将极值限定在开区间内部。函数在开区间内可导,就排除了3种情况:任何不连续点,点不连续,自然没法产生变化率;角点(corners),即函数产生了突变,没有一个明确定义的导数,角点处左右极限不相等;垂直切线,垂直切线没有导数,且函数值没有最大最小,无穷大无穷小。
(3) f (a) = f (b),这个条件是为了把常量函数包括进去,常量函数其导数为0;此外,限定了两点的函数相等,从直观上来说,不管你函数图像在闭区间中是上升还是下降,你的函数值最终都会回到这个值,既然上升了,又下降到这个值,那么你中间一定有一个极大值,反之亦然;例如,函数在a点之后上升了,那么由于这个条件的限制,你在某一处一定会下降,从而回到b点时下降到等于a点的函数值;对于a点之后下降了也是一样的道理。
参考资料:
<<calculus>> Ron Larson,The Pennsylvania State University The Behrend College
Bruce Edwards, University of Florida
<<calculus>> James Stewart
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