凑微分练习

前言

在学习第一类换元法（凑微分法）时，我们常常需要凑微分。为了更加熟练地运用凑微分法，下面有几道凑微分例题供大家练习。

记住$df(x)=f^{\prime }(x)dx$

例题1

1. $dx=\underline{}d(ax)$
2. $dx=\underline{}d(6x-4)$
3. $xdx=\underline{}d(x^2)$
4. $xdx=\underline{}d(1-x^2)$
5. $x^{2}dx=\underline{}d(4x^3+3)$

答案：$(1)a(2)\frac{1}{6}(3)\frac{1}{2}(4)-\frac{1}{2}(5)\frac{1}{12}$

例题2

1. $e^{x}dx=\underline{}d(3e^x)$
2. $e^{2x}dx=\underline{}d(e^{2x})$
3. $e^{\frac{x}{2}}dx=\underline{}d(e^{\frac{x}{2}}+3)$
4. $\frac{1}{x}dx=\underline{}d(3\ln |x|)$
5. $\frac{2}{x}dx=\underline{}d(5-4\ln |x|)$

答案：$(1)\frac{1}{3}(2)\frac{1}{2}(3)2(4)\frac{1}{3}(5)-\frac{1}{2}$

例题3

1. $\sin xdx=\underline{}d(\cos x)$
2. $\cos \frac{2}{3}xdx=\underline{}d(\sin \frac{2}{3}x)$
3. $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{}d(1-\arcsin x)$
4. $\frac{1}{1+9x^2}dx=\underline{}d(\arctan 3x)$
5. $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{}d(\sqrt{1-x^2})$

答案：$(1)-1(2)\frac{3}{2}(3)-1(4)\frac{1}{3}(5)-1$