凑微分练习
前言
在学习第一类换元法(凑微分法)时,我们常常需要凑微分。为了更加熟练地运用凑微分法,下面有几道凑微分例题供大家练习。
记住df(x)=f′(x)dxdf(x)=f'(x)dxdf(x)=f′(x)dx
例题1
- dx=‾d(ax)dx=\underline{\quad}d(ax)dx=d(ax)
- dx=‾d(6x−4)dx=\underline{\quad}d(6x-4)dx=d(6x−4)
- xdx=‾d(x2)xdx=\underline{\quad}d(x^2)xdx=d(x2)
- xdx=‾d(1−x2)xdx=\underline{\quad}d(1-x^2)xdx=d(1−x2)
- x2dx=‾d(4x3+3)x^2dx=\underline{\quad}d(4x^3+3)x2dx=d(4x3+3)
答案:(1)a(2)16(3)12(4)−12(5)112(1)a \qquad(2)\dfrac 16 \qquad(3)\dfrac 12\qquad (4)-\dfrac 12 \qquad(5)\dfrac {1}{12}(1)a(2)61(3)21(4)−21(5)121
例题2
- exdx=‾d(3ex)e^xdx=\underline{\quad}d(3e^x)exdx=d(3ex)
- e2xdx=‾d(e2x)e^{2x}dx=\underline{\quad}d(e^{2x})e2xdx=d(e2x)
- ex2dx=‾d(ex2+3)e^{\frac x2}dx=\underline{\quad}d(e^{\frac x2}+3)e2xdx=d(e2x+3)
- 1xdx=‾d(3ln∣x∣)\dfrac 1xdx=\underline{\quad}d(3\ln|x|)x1dx=d(3ln∣x∣)
- 2xdx=‾d(5−4ln∣x∣)\dfrac 2xdx=\underline{\quad}d(5-4\ln|x|)x2dx=d(5−4ln∣x∣)
答案:(1)13(2)12(3)2(4)13(5)−12(1)\dfrac 13 \qquad(2) \dfrac 12 \qquad(3)2 \qquad(4)\dfrac 13 \qquad(5)-\dfrac 12(1)31(2)21(3)2(4)31(5)−21
例题3
- sinxdx=‾d(cosx)\sin xdx=\underline{\quad}d(\cos x)sinxdx=d(cosx)
- cos23xdx=‾d(sin23x)\cos \dfrac 23xdx=\underline{\quad}d(\sin \dfrac 23x)cos32xdx=d(sin32x)
- 11−x2dx=‾d(1−arcsinx)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{\quad}d(1-\arcsin x)1−x21dx=d(1−arcsinx)
- 11+9x2dx=‾d(arctan3x)\dfrac{1}{1+9x^2}dx=\underline{\quad}d(\arctan 3x)1+9x21dx=d(arctan3x)
- x1−x2dx=‾d(1−x2)\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\underline{\quad}d(\sqrt{1-x^2})1−x2xdx=d(1−x2)
答案:(1)−1(2)32(3)−1(4)13(5)−1(1)-1 \qquad(2)\dfrac 32 \qquad(3)-1 \qquad(4)\dfrac 13 \qquad(5)-1(1)−1(2)23(3)−1(4)31(5)−1
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