【LeetCode 图论 一】初探有向图Directed Graph

今天主要介绍DAG （Directed acyclic graph），有向无环图。

无向图的问题相对有向图比较简单，比如岛屿问题，迷宫问题等。

在有向图中，我们通常只关注环是否存在，因为有向图中环的存在会让我们的程序陷入死循环。

举个例子，有向图中的方向通常指代一些事情的执行顺序，比如说[a, b], [b, c]
我们假设a,b,c是三门课程，要学左边的课程之后才能学右边的课程，所以这里我们如果要学c，就要先学a，再学b，最后才能学c。
那如果有环，【a，b】，【b，a】，显然这是矛盾的。
同样。对于一些列复杂的课程

若我们想学5，则要先学3，要学3则要先学4，而要学4则要先学5…这无解
这会让我们DFS的搜索陷入循环。
所以一般我们进行搜索的时候，需要判断环是否存在。

另外我们还要提一下【拓扑排序】
刚刚的课程选择问题中，是一种优先级限制下的调度问题，在有向图中它的定义是
在满足限制条件的情况下如何安排并完成所有任务。
我们可以画出一张有向图，顶点对应任务（通过数组索引来表示课程），有向边对应优先级顺序。
而有向图中的优先级限制下的调度问题，等价于【拓扑排序】，它的定义是：
给定一副有向图，将所有的顶点排序，使得所有的有向边均从排在前面的顶点指向排在后面的顶点。 如下图

同学可以按照上面排序之后的有向图修完所有课程。

我们利用DFS寻找环：

维护一个递归调用期间已访问的顶点的栈Stack，若(在递归调用期间，通过判断onStack标记数组)两次访问了某个顶点，则说明有环；若DFS递归调用完毕，说明无环。

上面说的还是比较抽象。但是已经大致有一个印象了，就是，有向无环图因为它的顺序限制原因，已经搜索完的点，是不可能再次回到它这里的。

具体的，我们参考上面拓扑排序的图，当搜索到某个点，它没有相邻节点，它就入栈。
所以最终结果是，我们将 最后的课程4放在了栈底，最初的课程8放在栈的最顶部。

由于搜索是从随机的点开始的，我们将没有相邻节点的点入栈之后，再回溯到初始节点，将它入栈，但是后面的搜索也可能会碰到它。所以要给已经搜索的节点打上标签。

另外要注意一点，有些情况下会提示图中无环，但是有些题目不会提示，所以我们考虑一下再搜索过程中判断是否有环，具体的，对于某些节点X，我们搜索过，但是因为我们还没找到那个没有相邻节点的点end，或者我们还没有从end回溯到X，那么此时X节点的状态就是【搜索中】，如果我们搜索的过程中，两次搜索到X，那说明到X节点的图不是单向的，而是存在一个环。

所以，我们将节点分类为【搜索中】【已搜索】【未搜索】
假设有一对相邻节点（u，v），方向是u到 v 。
我们从u开始搜索，此时需要判断v的状态
【v是未搜索】：那我们可以搜索v，搜索完成之后，回溯到u 。
【v是搜索中】：那表示有一个环经过了v节点，这种情况下不存在拓扑排序。
【v是已搜索】：那v已经入栈了，而u不在栈中，那么u入栈就和v没关系，只看u自己的其他相邻节点来决定它的入栈时间即可。

下面用题目演示更直白

LeetCode 210 课程表II

https://leetcode.cn/problems/course-schedule-ii/

现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。
给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，
表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。
返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。实例1
输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。实例2
输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。实例3
输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]

import collections
class Solution:def findOrder(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> List[int]:          edges = collections.defaultdict(list) # 有向图的表达方式for x in prerequisites:edges[x[1]].append(x[0]) # 每个点 和 它能到的相邻节点has_circle = False #是否包含环res = [] # 栈底是没有相邻节点的点，栈顶是源点，返回res[::-1]state = [0]*numCourses# 0 1 2 代表未搜索 搜索中，已搜索def dfs(current):nonlocal has_circle # nonlocal：函数之外定义，函数之内改变值state[current]=1for v in edges[current]:if state[v] ==1:has_circle=Truereturnelif state[v] ==0:dfs(v)if has_circle:returnelse:continue state[current]=2 # 每次的dfs会添加一个节点到栈底，这个节点没有指向任何节点res.append(current)for i in range(numCourses):if not has_circle and not state[i]:dfs(i)if has_circle:return []return res[::-1]

LeetCode 207 课程表

https://leetcode.cn/problems/course-schedule/

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。示例 1：输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。
示例 2：输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

解答方法就是判断这个有向图中有没有环。比上一题更简单。

class Solution:def canFinish(self, numCourses: int, prerequisites: List[List[int]]) -> bool:# 不能完成的几个情况    # 图中有环，自相矛盾import collectionsedges = collections.defaultdict(list)for x in prerequisites:edges[x[1]].append(x[0])state = [0]*numCourses # 0 1 2 未搜索 搜索中 已搜索has_circle = False# res_stack = []def dfs(u):nonlocal has_circlestate[u]=1for v in edges[u]:# print(v, state)if state[v]==0:dfs(v)if has_circle:return elif state[v] ==1:has_circle=Truereturnelse:continuestate[u]=2# res_stack.append()for i in range(numCourses):if not has_circle and  not state[i]:dfs(i)if has_circle:return Falsereturn True