牛顿法、梯度下降法与拟牛顿法

0 引言

机器学习中在求解非线性优化问题时，常用的是梯度下降法和拟牛顿法，梯度下降法和拟牛顿法都是牛顿法的一种简化

牛顿法是在一个初始极小值点做二阶泰勒展开，然后对二阶泰勒展开式求极值点，通过迭代的方式逼近原函数极值点

在牛顿法迭代公式中，需要求二阶导数，而梯度下降法将二阶导数简化为一个固定正数方便求解

拟牛顿法也是在求解过程中做了一些简化，不用直接求二阶导数矩阵和它的逆

1 关于泰勒展开式

1.1 原理

如果我们有一个复杂函数 $f(x)$, 对这个复杂函数我们想使用 n 次多项式（多项式具有好计算，易求导，且好积分等一系列的优良性质）去拟合这个函数，这时就可以对 $f(x)$进行泰勒展开，求某一点 $x_0$附近的 n 次多项式：

注意：
n 次多项式只是在 $x_0$ 较小的邻域内能较好拟合 $f(x)$，也就是说，泰勒展开式其实是一种局部近似的方法，只近似 $x=x_0$那一点的函数性

1.2 例子

现在要求 $f(x)=cos(x)$ 在 $x_0=0$ 处的二阶泰勒展开，因为我们去掉了高阶项，所以只是近似

直接套用公式
$f(x_0)=f(0)=cos(0)=1$
$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(0)=-sin(0)=0$
$f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(0)=-cos(0)=-1$
所以展开后的公式为
$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\ast x+f^{\prime \prime }(x_0)\ast x^2/2=1-0.5\ast x^2$$

从下方运行程序可以看出，离展开点越近的点，拟合程度越高，越远的点，越离谱

2 牛顿法

2.1 x 为一维

现在假设我们有目标函数 $f(x)$，我们希望求此函数的极小值，牛顿法的基本思想是：随机找到一个点设为当前极值点 $x_k$，在这个点对 $f(x)$ 做二次泰勒展开，进而找到极小点的下一个估计值。在 $x_k$ 附近的二阶泰勒展开为：

现在想求 $\phi (x)$ 的极值点，由极值的必要条件可知，$\phi (x)$ 应满足导数为 0，即：
$${\phi }^{\prime }(x)=0$$
即
$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_k)+f^{\prime \prime }(x_k)(x-x_k)=0$$
这样就可以求得 x 的值
$$x=x_k-\frac{f^{\prime }(x_k)}{f^{\prime \prime }(x_k)}$$
于是给定初始值 $x_0$,就可以通过迭代的方式逼近$f(x)$的极值点：
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f^{\prime }(x_k)}{f^{\prime \prime }(x_k)}$$

如下图，首先在 $x_n$ 处泰勒展开，得到$f(x)$ 的近似函数 $g_n(x)$ ，求得 $g_n(x)$ 的极值点 $x_{n+1}$

随后在 $x_{n+1}$ 出泰勒展开，得到$g_{n+1}(x)$ 函数，继续求$g_{n+1}(x)$ 的极值点

一直迭代最后就会逼近 $f(x)$ 的极值点

2.2 x 为多维

上面讨论的是参数 x 为一维的情况，当 x 有多维时，二阶泰勒展开式可以做推广，此时：
$$\phi (x)=f(x_k)+\nabla f(x_k)\ast (x-x_k)+\frac{1}{2}\ast (x-x_k{)}^T\ast {\nabla }^{2}f(x_k)\ast (x-x_k)$$
其中 $\nabla f$为 $f$ 的梯度向量，${\nabla }^{2}f$为 $f$的海森矩阵（Hessian matrix）,其定义为：

$\phi (x)$对 x 向量求导并令其为 0 有：
$$\nabla f(x_k)+{\nabla }^{2}f(x_k)\ast (x-x_k)=0$$
于是有：
$$x=x_k-[{\nabla }^{2}f(x_k){]}^{-1}\nabla f(x_k)$$
通过迭代的方式能找到函数的极值点
牛顿法缺点：

• 函数必须具有一二阶偏导数，海森矩阵必须正定
• 计算相当复杂，除梯度外还需要计算二阶偏导数和逆矩阵

3 梯度下降法

在一维牛顿法中,迭代公式为：
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f^{\prime }(x_k)}{f^{\prime \prime }(x_k)}$$
这个公式缺点：

• 需要求二阶导数，有些函数求二阶导数之后就相当复杂了；
• 因为$f^{\prime \prime }(x_n)$的大小不定，所以$g(x)$开口方向不定，我们无法确定最后得到的结果究竟是极大值还是极小值

为了解决这两个问题，我们放弃二阶精度，即去掉$f^{\prime \prime }(x_n)$，改为一个固定的正数1/h:
$$\phi (x)=f(x_k)+f^{\prime }(x_k)(x-x_k)+\frac{1}{2h}(x-x_k{)}^2$$
该抛物线是一条开口向上的抛物线，通过求它的极值可以保证得到的是极小值。$\phi (x)$ 的极小值点为
$$x_k-h{f}^{\prime }(x_k)$$
迭代公式为
$$x_{k+1}=x_k-h{f}^{\prime }(x_k)$$
对于高维空间就是
$$x_{k+1}=x_k-h\nabla (x_k)$$

4 拟牛顿法

拟牛顿法的基本思想是：不用二阶偏导数而构造出可以近似海森矩阵的正定对称阵，在“拟牛顿”的条件下优化目标函数。不同的构造方法就产生了不同的拟牛顿法。

一些记号：
$\nabla f$ 记为 g 表示梯度， $g_k$表示$\nabla f(x_k)$

${\nabla }^{2}f$ 海森矩阵,记为 H, $K_k$表示${\nabla }^{2}f(x_k)$

用 B 表示对海森矩阵 H 本身的近似，D表示对海森矩阵的逆 $H^{-1}$的近似， 即 $B\approx H,D\approx H^{-1}$

4.1 拟牛顿条件

在经过 k+1 次迭代后得到 $x_{k+1}$,此时目标函数$f(x)$在 $x_{k+1}$处作泰勒二阶展开，得到：
$$f(x)\approx f(x_{k+1})+\nabla f(x_{k+1})\ast (x-x_{k+1})+\frac{1}{2}\ast (x-x_{k+1}{)}^T\ast {\nabla }^{2}f(x_{k+1})\ast (x-x_{k+1})$$

两边对 x 求梯度有：
$$\nabla f(x)\approx \nabla f(x_{k+1})+H_{k+1}\ast (x-x_{k+1})\text{\hspace{1em}(1)}$$
在式（1）中取 $x=x_k$ ，整理可得：
$$g_{k+1}-g_k\approx H_{k+1}\ast (x_{k+1}-x_k）\text{\hspace{1em}(2)}$$
引入记号：
$$s_k=x_{k+1}-x_k,y_k=g_{k+1}-g_k$$
式 (2) 可以写为：
$$y_k\approx H_{k+1}\ast s_k=>简记为：y_k\approx B_{k+1}\ast s_k$$
或者
$$s_k\approx H_{k+1}^{-1}\ast g_k=>简记为：s_k\approx D_{k+1}\ast y_k$$
这就是所谓的拟牛顿条件，它对迭代过程中的海森矩阵做约束。

4.2 DFP 算法

参考:牛顿法与拟牛顿法学习笔记（三）DFP 算法

4.3 BFGS 算法

参考:牛顿法与拟牛顿法学习笔记（四）BFGS 算法

4.4 L-BFGS 算法

牛顿法与拟牛顿法学习笔记（五）L-BFGS 算法
参考：
泰勒展开式的理解
牛顿法与拟牛顿法学习笔记（一）牛顿法
梯度下降和EM算法：系出同源，一脉相承
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