数学建模第七天：数学建模算法篇之插值及MATLAB实现

目录

一、前言

1、引例

2、拟合定义

3、拟合与插值的关系

二、拟合

1、线性最小二乘法求解

①思路

②解法

2、MATLAB对线性最小二乘拟合的实现

①函数说明

②求解例题

3、MATLAB实现非线性曲线拟合

①lsqcurvefit函数

②代码求解

4、MATLAB实现非线性最小二乘拟合

①lsqnonlin函数

②代码求解

---

一、前言

1、引例

        话不多说，我们还是老规矩，上例题！

        伍老师当了这么多篇文章的主角，今天的主角终于成为了伍老师的闺蜜汪老师。汪老师的零花钱一般在月初发，但是，汪老师一不小心多网购了一点，四月的最后一周只剩下了300块钱。已知这一周的前四天开销如下：

4月24号：踌躇满志的想要去省钱，当天花销共计35块

4月25号：感觉最后一周的第一天太克制自己了，多花一点，当天花销共计45块

4月26号：陪男朋友出去玩，多点了一杯奶茶，当天花销共计48块、

4月27号：突然发现前两天花的钱有点多了，克制一下，当天花销共计38块

那么，请你预测一下汪老师的花销函数，并且估计，300块汪老师能否撑过这一周？

2、拟合定义

        曲线拟合问题是指：已知平面上n个点，i=1,2,3……n，互不相同。寻求函数f(x)，使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得很好。比如说我们高中学习过电阻与温度相关，我们测量某几个温度下的电阻，做出一条线，这就是我们拟合出来的函数图像：

        曲线拟合一般需要解决如下两个问题：

        ①线型的选择；

        ②线型中参数的计算

        其中，问题①是拟合问题的关键与难点，线性拟合中参数的计算可以使用最小二乘法，二非线性拟合参数的计算则要应用GN迭代法。

3、拟合与插值的关系

        相同点：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面

        不同点：若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。像上篇文章中出现过Runge现象，当不小于7次时，波动十分显著，所以我们需要用拟合的方法去构建相关的函数。小编借用龙门飞甲里的几句台词，来说明拟合的作用：

        “拟合算什么东西？”

        “你问我拟合算什么东西，现在我就来告诉你。插值算不了的值由我拟合来做，插值画不了的图我画，插值写不了的代码我写。一句话，拟合建不了的模我要建。拟合建不了的模我更要建！这就是西厂！”

        函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。

二、拟合

1、线性最小二乘法求解

①思路

第一步:先选定一组函数 ，，……，,  m<n, 令

           ( 1 )

其中,, …, 为待定系数。

        第二步:  确定，， …， 的准则（最小二乘准则）： 使n个点 与曲线 y=f(x) 的距离的平方和最小

        问题归结为，求 ，，……，，使最小

②解法

        我们把方程个数大于未知量个数的方程组称为超定方程组：

        我们可以把上述超定方程组简写为矩阵乘法形式：

        超定方程组一般是不存在解的矛盾方程组，所以我们定义如果有向量a使得式子（4）达到最小， 则称a为上述超定方程组的最小二乘解。

         这里补充一个定理：当可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解，且即为方程组

2、MATLAB对线性最小二乘拟合的实现

①函数说明

调用函数：

a=polyfit(x,y,m)

参数说明：

a：输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组)）

x、y：输入同长度的数组x，y，为已知的点坐标

m：拟合多项式次数

作用：对多项式拟合

额外说明：

        对超定方程组，可以用a=R\y得到最小二乘意义下的解。

        多项式在x处的值y可用y=polyval(a,x)命令计算。

②求解例题

如果使用一次函数拟合，则代码为：

x=[1,2,3,4];
y=[35,45,48,38];
A=polyfit(x,y,1)
x1=1:1:7
z=polyval(A,x1)
plot(x,y,'o',x1,z,'r') 

求出的结果为：

        所以预计最后三天汪老师会花费44.5+45.7+46.9=137.1元，算上前面四天的消费，一共303.1元，故汪老师三百块撑不过这一周，需要找伍老师接三块一毛钱。

3、MATLAB实现非线性曲线拟合

①lsqcurvefit函数

        已知输入数据点和输出数据点，即x=（xdata1,xdata2,……,xdatan）,y=（ydata1,ydata2,……ydatan）,并且还知道输入数据点与输出数据点的关系为ydata=F(x,xdata)，MATLAB里有lsqcurvefit函数能够对曲线进行拟合，求得x使得下式成立：

函数输出格式：

        x = lsqcurvefit (‘fun’,x0,xdata,ydata);

        x =lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);

        x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);

参数说明：

        其中x0代表初始解向量，option代表优化方式，xdata与ydata满足ydata=F(x,xdata)，fun代表一个事先建立的定义函数F(x,xdata) 的m文件, 自变量为x和xdata。

②代码求解

        加入我们知道汪老师最后一周的花销函数为，请用lsqcurvefit函数拟合，并且求出参数a、w、k、b。

        我们先定义一个花销函数expense.m，内容如下：

function F=expense(x,xdata);F=-x(1)*cos(x(2)*xdata)+x(3)*xdata+x(4)% x(1)=a; x(2)=w,x(3)=k,x(4)=b;

        再输入相关命令：

xdata=[1,2,3,4];
ydata=[35,45,48,38];
x0=[0.1,0.1,0.1,0.1];x=lsqcurvefit('expense',x0,xdata,ydata)xnew=1:1:7;F=expense(x,xnew)

我们就能算出，a、w、k、b四个参数的值以及汪老师这一周每天的花费，如下：

        再计算一下这一周的后三天汪老师会花费48.07+48.43+46.6=143.1，而按照这个模型这一周共计花费309.1元，看来300是不够的，还需要多找伍老师借9.1块钱。

4、MATLAB实现非线性最小二乘拟合

①lsqnonlin函数

        已知输入数据点和输出数据点，即x=（xdata1,xdata2,……,xdatan）,y=（ydata1,ydata2,……ydatan），用以求含参量x的向量值函数f（x），使得下式的值最小：

        其中fi(x)=f(x,xdatai,ydatai)=F(x,xdatai)-ydatai。

函数格式：

        x=lsqnonlin(‘fun’,x0)      

        x=lsqnonlin(‘fun’,x0,options)      

        x= lsqnonlin('fun’,x0,options‘grad’)

参数说明：

        其中x0代表初始解向量，option代表优化方式，fun代表一个事先建立的定义函数F(x) 的m文件, 自变量为x。

②代码求解

        仍然以刚刚那道题为例，我们先定义一个花销函数expense.m，内容如下：

function F=expense(x);
xdata=[1,2,3,4];
ydata=[35,45,48,38];F=-x(1)*cos(x(2)*xdata)+x(3)*xdata+x(4)% x(1)=a; x(2)=w,x(3)=k,x(4)=b;

        再输入代码：

x0=[0.1,0.1,0.1,0.1];x=lsqnonlin('expense',x0)xnew=1:1:7;F=expense(x)

        就能算出各个参数的值！结果与非线性曲线拟合的结果一致，这里就不放相应的结果啦！

        好的，本期的数学建模的课程就到这里啦，不知道小编的文章对各位观众老爷们有没有帮助呢？麻烦大家给小编点一个免费的小心心好吗？