代码随想录算法训练营第44天 || 完全背包 || 518. 零钱兑换 II || 377. 组合总和 Ⅳ

代码随想录算法训练营第44天 || 完全背包 || 518. 零钱兑换 II || 377. 组合总和 Ⅳ

完全背包

完全背包与01背包的区别在于每种物品都有无限件，可以多次放入背包。

我们回顾一下01背包的遍历顺序，其中内层遍历背包的过程要后序遍历，为什么当时一定要后序呢？

• 因为我们的递推公式 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);要求的当前节点数据用到的是前面的节点，我们后序遍历就能保证用到的前面节点是还没考虑放入当前物品i的情况。
• 如果我们使用正序遍历，那么前面的物品已经放入物品i了，那么就会导致再放一次物品i，也就违背了01背包的前提

由此，我们可以发现背包正序遍历可以实现多重背包问题，因为我们遍历容量是逐一递增的，所以每次递增最多也就多放一个物品i，不会出现说背包循环走一步可以放多个物品i，毕竟我们默认物品i重量是≥1的，<1的不考虑，应该也不会这么出题。

一些注意点：

1. 一维dp数组实现的完全背包问题中，遍历背包和物品顺序可不可以调换？

   • 可以
   • 如果先遍历物品，后遍历背包。意味着每次遍历到下一个背包都去尝试是否能再放物品i，而不用管物品i在前一状态有没有被放过
   • 如果先遍历背包，后遍历物品。意味着，一个个背包塞到最大价值再给下一个背包实现最大价值，后面的背包肯定会使用到前面背包的状态，这样也就会出现一些物品会被放多次的情况，并且每个背包都尽可能放入最大价值

2. 现在我们回过头去思考此前01背包中，先遍历背包后遍历物品会怎么样？

   这里我们肯定还是得保持背包后序遍历，这样的话一开始前面的背包都是清空状态，无法给最大的背包提供有效信息，它最终不一定能放最大价值，往后讨论也就没有意义了。

3. **注意注意：**先遍历物品得到的是组合；先遍历背包得到的是排列。在下面两题求解背包装满的方法数量有所体现。

代码：（01背包在遍历顺序上做了小调整）

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品if (i - weight[j] >= 0){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);}}}for (int maxValue : dp){System.out.println(maxValue + "   ");}
}

518. 零钱兑换 II

题目介绍

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

个人思路：

本题很明显是背包问题，最大容量为amount，要我们求装满背包的最多方案，此外我们发现物品可以重复放入，故而这是一个完全背包问题。

动规五部曲

1. 确定dp数组及其下标含义

   int[] dp = new int[amount + 1];
   //dp[j] 表示 容量为j的背包装满的方法 此题吧面额和重量看成一样
   

2. 确定递推公式

   dp[j] += dp[j - coins[i]];
   

   还是放与不放物品i的问题引入，装满容量为j的背包的方法 =已知方法数量 + 装满容量j拿出一个物品i的容量的背包的方法数量

3. 初始化dp数组

   dp[0] = 1;计算装满方法，统一操作了。

4. 遍历顺序确定

   • 虽然我们前面说完全背包求最大价值两次for循环可以调换顺序，但在这里不可以调换顺序，这里求的是组合方法，放满的方法数量。

   • 先遍历物品，这种情况是组合情况

     [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3RYchxMU-1676306021084)(C:\Users\耿飞扬\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20230214001843020.png)]

   • 先遍历背包，这种情况会出现排列的情况，以遍历到背包3举例，

     • 遍历物品1时，找到物品2，得到11 1、2 1两种情况
     • 遍历物品2时，找到物品1，得到1 2一种情况
     • 所以得到排列数情况

     [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-xtPSDG7D-1676306021085)(C:\Users\耿飞扬\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20230214002731595.png)]

   • 背包要正序遍历

5. 打印dp数组检验

代码

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {int[] dp = new int[amount + 1];//dp[j] 表示 容量为j的背包装满的方法 此题吧面额和重量看成一样dp[0] = 1;for (int i = 0; i < coins.length; i++) {for (int j = 1; j <= amount; j++) {if (j - coins[i] >= 0)dp[j] += dp[j - coins[i]];}}return dp[amount];}
}

377. 组合总和 Ⅳ

题目介绍

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

个人思路

原本这题是没写出来的，上一题可以说是碰巧过的吧，没有仔细思考排列组合受到循环内外层调换的影响。

上一题理清之后，本题就直接过了。思路也不过多阐述了，直接上代码，具体见上一题思路解析

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp = new int[target + 1];//dp[j]:背包容量为j的背包装满的方法为dp[j]//初始化dp[0] = 1;for (int j = 1; j <= target; j++) {for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (j - nums[i] >= 0)dp[j] += dp[j - nums[i]];}}return dp[target];}
}