*2.5 迭代法的收敛阶与加速收敛方法

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学习目标：

1. 了解迭代法的基本概念和原理。学习者需要理解迭代法的基本概念和原理，包括迭代过程、迭代格式、收敛性等基本概念。

2. 熟练掌握迭代法的收敛阶和收敛速度。学习者需要了解迭代法的收敛阶和收敛速度，掌握如何计算迭代法的收敛阶和收敛速度，以及如何通过数值实验验证迭代法的收敛阶和收敛速度。

3. 掌握迭代法的加速收敛方法。学习者需要了解迭代法的加速收敛方法，包括加速收敛的思想和方法，以及如何将加速收敛方法应用于具体的迭代法中。

4. 熟练使用数值计算工具和编程语言进行迭代法的实现和应用。学习者需要熟练使用数值计算工具和编程语言，比如 MATLAB、Python 等，实现和应用迭代法及其加速收敛方法。

5. 能够应用迭代法和加速收敛方法解决实际问题。学习者需要通过实际案例和应用，掌握如何应用迭代法和加速收敛方法解决实际问题，比如求解非线性方程、矩阵特征值问题等。

总之，学习者需要通过系统的学习和实践，掌握迭代法的收敛阶和加速收敛方法，并能够将其应用于实际问题的求解中。

收敛阶的定义：

在数值计算中，迭代法是一种重要的求解数值逼近问题的方法。在使用迭代法求解数值逼近问题时，我们通常需要关注迭代的收敛性能，而收敛阶就是评估迭代算法收敛性能的一种指标。

收敛阶是一个描述迭代算法收敛速度的概念。它是一个正整数或无穷大，通常用符号 p 表示。收敛阶的含义是：在每次迭代中，误差的大小至少缩小到前一次迭代误差的 p 倍。如果收敛阶 p 越大，则说明迭代算法的收敛速度越快。

具体来说，假设我们使用一个迭代算法求解一个方程的近似解 x。在第 k 次迭代后，我们得到的近似解为 x_k，真实解为 x。误差 e_k 可以定义为 e_k = x - x_k。那么，如果迭代算法的收敛阶为 p，则我们有以下关系式：

|e_{k+1}| <= C |e_k|^p

其中，C 是一个与迭代算法和问题本身相关的常数，|e_k| 表示误差的范数，比如 2-范数、无穷范数等。

简单来说，收敛阶 p 表示误差在每次迭代中至少缩小 p 倍。如果 p 越大，则说明迭代算法的收敛速度越快。在实际应用中，我们通常需要通过数值实验来估计迭代算法的收敛阶，并根据收敛阶的大小来评估迭代算法的性能和选择合适的算法和参数。

 

我的理解：

可以通过一个简单的例子来理解收敛阶的概念。

假设我们要求解方程 f(x) = 0 的近似解，其中 f(x) 是一个连续可微的函数。我们可以使用牛顿迭代法来求解，迭代格式为：

x_{k+1} = x_k - f(x_k) / f'(x_k)

其中，x_k 表示第 k 次迭代的近似解，f'(x_k) 表示 f(x) 在 x_k 处的导数。

我们假设迭代算法的收敛阶为 p。在第 k 次迭代后，误差 e_k 可以定义为 e_k = x - x_k，其中 x 是真实解。假设我们知道误差 e_{k+1} 和 e_k 的大小，我们可以通过以下关系式来估计迭代算法的收敛阶 p：

|e_{k+1}| <= C |e_k|^p

其中，C 是一个与迭代算法和问题本身相关的常数。

我们可以将上式取对数，得到：

log(|e_{k+1}|) <= p log(|e_k|) + log(C)

这个式子看起来和直线方程 y = mx + b 很相似，其中 p 就是斜率，log(C) 就是截距。

如果我们将误差的对数取代误差本身，我们会得到一条斜率为 p，截距为 log(C) 的直线。我们可以通过这条直线来判断迭代算法的收敛阶，即使我们并不知道真实解 x 的值。

比如，如果我们在图上画出误差的对数和迭代次数的关系图，如果看到一个斜率为 2 的直线，那么我们可以认为迭代算法的收敛阶为 2，即误差至少每次缩小到前一次的平方。如果看到一个斜率为 1 的直线，那么我们可以认为迭代算法的收敛阶为 1，即误差每次减少相同的倍数。如果看到一个斜率为 0 的直线，那么我们可以认为迭代算法不收敛，或者收敛的非常缓慢。

通过理解收敛阶的概念，我们可以更好地理解迭代算法的收敛性能，并且在实际应用中选择合适的算法和参数。

 

 怎么用：

掌握收敛阶的概念可以帮助我们在实际应用中更好地选择和优化算法，并且提高算法的收敛速度和精度。以下是一些具体的应用场景：

1. 选择最优的迭代算法：在实际应用中，可能有多种迭代算法可以求解同一个问题。掌握收敛阶的概念可以帮助我们评估不同算法的收敛速度和精度，从而选择最优的算法。

2. 优化算法参数：在迭代算法中，通常有一些参数可以调整，例如步长、迭代次数等。掌握收敛阶的概念可以帮助我们理解这些参数对算法收敛速度和精度的影响，从而调整算法参数以获得更好的性能。

3. 评估算法的收敛速度和精度：掌握收敛阶的概念可以帮助我们评估算法的收敛速度和精度，从而判断算法是否满足应用要求。

4. 优化数值计算：在数值计算中，例如求解微分方程、积分等问题，通常需要使用迭代算法。掌握收敛阶的概念可以帮助我们选择和优化迭代算法，从而提高数值计算的精度和效率。

总之，掌握收敛阶的概念可以帮助我们更好地理解和应用迭代算法，提高算法的收敛速度和精度，从而在科学计算、优化算法等领域获得更好的应用效果。

前置知识：

拉格朗日微分中值定理（这个知识点看我高等数学的文章）传送门：3.1 微分中值定理

艾特基加速方法：

艾特肯算法（Aitken's delta-squared method），也称作Aitken加速算法，是一种加速迭代法的方法。

在使用迭代法求解某个问题时，如果每次迭代的值收敛得比较慢，我们可以通过加速迭代的方式来提高收敛速度。艾特肯算法就是一种常用的加速迭代的方法。

艾特肯算法的思想很简单，即通过利用连续三个近似解的差值，来得到一个更快收敛的新近似解。具体地，我们设迭代过程中的近似解为$x_n$，则用以下公式可以得到一个新的近似解：

$x_{n,acc} = x_n - \frac{(x_{n+1}-x_n)^2}{x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}}$

其中，$x_{n+1}$表示第$n+1$次迭代得到的近似解，$x_{n-1}$表示第$n-1$次迭代得到的近似解。$x_{n,acc}$表示通过艾特肯算法得到的新的近似解。

艾特肯算法的优点是简单易实现，并且在某些情况下可以显著提高收敛速度。但是需要注意的是，在某些情况下，艾特肯算法可能会导致数值不稳定，因此需要谨慎使用。

总结：

收敛阶是用来描述迭代法的收敛速度的指标，一般越高表示收敛速度越快。它的重点在于理解概念和计算方法，其中需要注意的难点和易错点包括理解收敛阶和收敛速度的关系、理解如何通过计算近似解的误差来计算收敛阶、注意近似解的误差和真实解的误差之间的区别。

加速收敛方法是用来提高迭代法的收敛速度的一种方法。常见的加速收敛方法包括牛顿法、割线法、埃特金加速法等。它的重点在于了解不同加速收敛方法的思想、原理和应用场景，以及掌握它们的具体计算方法。需要注意的难点和易错点包括了解不同加速方法的数学原理、掌握迭代公式的计算和理解加速方法的数值稳定性。

艾特肯算法是一种常用的加速迭代法的方法，其思想是利用连续三个近似解的差值来得到一个更快收敛的新近似解。它的重点在于理解算法的思想和应用场景，以及掌握它的具体计算方法。需要注意的难点和易错点包括注意数值稳定性和理解算法中的分母接近于0时可能出现的波动。