通过伴随矩阵怎么求逆矩阵

设矩阵A为n阶方阵，其伴随矩阵为Adj(A)，则A的逆矩阵为：

A⁻¹ = (1/|A|) · Adj(A)

|A|为A的行列式

Adj(A)为A的伴随矩阵

具体步骤如下：

1. 求出A的行列式|A|

2. 求出A的伴随矩阵 Adj(A) 。伴随矩阵的定义为：对于A的第i行第j列元素，其余元素构成的(n-1)阶子阵列的行列式乘以(-1)^(i+j)，即

Adj(A)ij = (-1)^(i+j) · |Aij|

其中，Aij为A中除第i行第j列元素外的其余元素构成的(n-1)阶子阵列。

1. 计算A的逆矩阵A⁻¹。将Adj(A)中的每个元素除以|A|即可。

注意：如果A的行列式为0，则A没有逆矩阵。

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计算例子1

给定矩阵

A =

[2 1;

4 3]，求A的逆矩阵。

解：首先计算A的行列式：

|A| = 2×3 - 1×4 = 2

然后求A的伴随矩阵：

Adj(A) =

[3 -1;

-4 2]

最后计算A的逆矩阵：

A⁻¹ = (1/2) · [3 -1; -4 2] = [3/4 -1/4; -2 1]

因此，矩阵A的逆矩阵为A⁻¹ = [3/4 -1/4; -2 1]。

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计算例子2

给定矩阵

B =

[1 2 3;

0 1 4;

5 6 0]，

求B的逆矩阵。

解：首先计算B的行列式：

|B| = 1×(1×0-4×6) - 2×(0×0-5×6) + 3×(0×1-1×5) = -24

然后求B的伴随矩阵：

Adj(B) =

[-24 -12 18;

20 -15 -6;

-2 3 2 ]

最后计算B的逆矩阵：

B⁻¹ = (-1/24) · [-24 -12 18; 20 -15 -6; -2 3 2] = [1/4 1/4 -1/8; -5/12 -1/4 1/8; 1/8 1/12 -1/24]

因此，矩阵B的逆矩阵为B⁻¹ = [1/4 1/4 -1/8; -5/12 -1/4 1/8; 1/8 1/12 -1/24]。